隐函数二次求导x+y=e^(xy）

Question

x+y=e^(xy）对他进行隐函数的二次求导，求大神帮忙

Answer 1

解：ln(x+y)=xy, 方程两边同时求导，y'/(x+y)=y+xy', y'[x+1/(x+y)]=y.
y'=y(x+y)/[x(x+y)+1]=(xy+y^2)/(x^2+xy+1)
y''=[xy+2yy'(x^2+xy+1)-(xy+y^2)(2x+y+xy')]/(x^2+xy+1); 后面合并同类项，你自己做吧。把y'代入式中就可以了。
还有一种方法就是直接求导：1+y'=e^(xy)*(y+xy'); y'[1+xe^(xy)]=ye^(xy)-1
y'=[ye^(xy)-1]/[1+xe^(xy)]
y''={[y'e^(xy)+ye(xy)(y+xy')][1+xe^(xy)]-[ye^(xy)-1][e^(xy)+xe^(xy)(y+xy')}/[1+xe^(xy)]^2; 也需要你自己整理。

Answer 2

x+y = e^(xy), 两边对 x 求导，得 1+y' = (y+xy')e^(xy) (1)
解得 y' = [ye^(xy)-1]/[1-xe^(xy)]
式 (1) 两边再对 x 求导，得
y'' = (2y'+xy'')e^(xy) + (y+xy')^2 e^(xy)
解得 y'' = [2y'+(y+xy')^2]e^(xy)/[1-xe^(xy)]
y' 代入即得。追问

y' = [ye^(xy)-1]/[1-xe^(xy)]我一开始是用这个进行二次求导的，然后怀疑人生了，大神不介意用这个算一下吗

追答

y' = [ye^(xy)-1]/[1-xe^(xy)],
y'' = e^(xy){[y'+y(y+xy')][1-xe^(xy)]+[ye^(xy)-1][1+x(y+xy')]}/[1-xe^(xy)]^2
y' 代入即得.
方法就是这样，只是很麻烦。

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