抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F，

Question

抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F，其准线经过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2 = 1（a、b>0）的左顶点，点M为这两条曲线的一个交点，且MF的长为2p,则双曲线的离心率为
A.10^(1/2)/2 B.2 C.5^(1/2) D.5^(1/2)/2

Answer 1

|MF|=2p ，则 M 到左准线 x = -a = -p/2 的距离为 2p ，
因此 M 横坐标为 2p-p/2=3p/2 ，
代入抛物线方程得 M 坐标是（3p/2，±√3p），
将 M 坐标代入双曲线方程，注意到 a=p/2 ，可得 9-3p^2/b^2=1，
解得 b^2=3/8*p^2 ，
因此由 e^2=c^2/a^2=(a^2+b^2)/a^2=1+b^2/a^2=1+(3/8) / (1/4)=5/2
得 e=√(5/2)=√10/2 。
选 A 。追问

谢谢

Answer 2

y^2=2px(p>0)
准线是x=-p/2
其准线经过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2 = 1（a、b>0）的左顶点
∴a=p/2
点M为这两条曲线的一个交点，且MF的长为2p
两交点连线⊥x轴
∵抛物线上点到焦点距离=到准线距离
∴x+p/2=2p
x=(3/2)p
M的横坐标是(3/2)p代入y^2=2px
y=±√3p
∵a=p/2
∴M为(3a,±2√3a)
代入x^2/a^2-y^2/b^2 = 1得
b^2=(3/2)a^2
c^2=(5/2)a^2
离心率e=c/a=√10/2
选A

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