设抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A,B两点。求证:若AO交准线于C，则BC平行于x轴...

Question

设抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A,B两点。求证:若AO交准线于C，则BC平行于x轴.O为原点

Answer 1

由题意，可知 F(p/2, 0), 准线 x=-p/2

当直线垂直于x轴时，A(p/2, p), B(p/2, -p)
所以AO所在直线：y=2x
所以AO与准线交点C(-p/2, -p)，与点B有相同纵坐标
所以BC平行x轴

当直线不垂直x轴时，设AB斜率为k，k≠0
AB直线：y=k(x- p/2)
解得：x=[pk²+2p±2p√(k²+1)]/(2k²)
所以 A( [pk²+2p+2p√(k²+1)]/(2k²), [p+p√(k²+1)]/k )
B( [pk²+2p-2p√(k²+1)]/(2k²), [1-√(k²+1)](p/k) )
所以 AO所在直线：y=x(2k)/[1+√(k²+1)]=(2/k)[√(k²+1) -1]x
所以 AO与准线交点C(-p/2, (p/k)[1-√(k²+1)])，与点B有相同纵坐标
所以BC平行x轴