抛物线y^2=2Px(P>0)的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A,B两点，点C在抛物线的准线上

Question

且BC//x轴，证明:直线AC经过原点O

Answer 1

设出A，B两点坐标，分别有两个未知数，然后根据抛物线准线以及焦点的关系，得出C点与A，B两点所含未知数的关系，最后只要证明A，O，C三点共线即可！

Answer 2

A，B两点均在抛物线y^=2px上，∴可设A(y1^/2p,y1),B(y2^/2p,y2)
易知抛物线焦点为F(p/2,0),准线为x=-p/2
∵BC‖x轴，且C在准线上，∴C点坐标为：C(-p/2,y2)

过F的直线可设为：y=k(x-p/2)
将其与抛物线方程联立，消去x，得到关于y的一元二次方程：
y^-(2p/k)*y -p^=0
A，B为两曲线交点，∴此方程的两个实根必为A，B两点的纵坐标y1,y2，有：
y1*y2=-p^
<=>y2=-p^/y1 ①

要想证明直线AC过原点O,只需证明三点共线即可
由：A(y1^/2p,y1),C(-p/2,y2),O(0,0)，可求出：
kAO=(y1^/2p-0)/(y1-0)=y1/2p
kCO=(-p/2-0)/(y2-0)=-p/(2y2)
将①式代入kCO的表达式，可得：
kCO=-p/[2*(-p^/y1)]=y1/2p=kAO

由此可知，A,O,C三点共线，∴直线AC过原点O本回答被提问者采纳