设f(x)在[0,1]上连续，在（0，1）内可导,且f(0)=0,|f'(x)|=<f(x),证明

Question

设f(x)在[0,1]上连续，在（0，1）内可导,且f(0)=0,|f'(x)|=<f(x),证明f(x)恒等于0。x属于[0,1]

Answer 1

由f(x)在[0,1]连续, 在(0,1)可导, 且f(0) = f(1).
根据Rolle定理, 存在c∈(0,1), 使f'(c) = 0.
考虑g(x) = f'(x)(x-1), 有g(x)在[c,1]连续, 在(c,1)可导, 且g(c) = 0 = g(1).
根据Rolle定理, 存在ξ∈(c,1), 使g'(ξ) = 0, 即有f"(ξ)(ξ-1)+2(ξ-1)f'(ξ) = 0.
而ξ < 1, 于是f"(ξ) = 2f'(ξ)/(1-ξ).
Taylor公式是指带Lagrange余项的Taylor展式吗? 是必须要用吗?
我目前还没有想出来, 毕竟Taylor展式中ξ只出现在一个地方.
其实Taylor展式也是用中值定理证的, 而且中值定理也可以视为一阶的Taylor展式.