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设f(x)在【0,1】上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0.证明:存在ξ∈(0,1),使f'(ξ)=-f(ξ)/ξ
设f(x)在【0,1】上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0.证明:存在ξ∈(0,1),使f'(ξ)=-f(ξ)/ξ
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推荐答案 推荐于2016-12-01
证明:
令g(x)=xf(x),g'(x)=f(x)+xf'(x)
∵f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导
∴g(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导
∵g(0)=0,g(1)=f(1)=0
∴根据
罗尔中值定理
知道,
存在ξ∈(0,1)使得g'(ξ)=0
∴g'(ξ)=f(ξ)+ξf'(ξ)=0
∴f'(ξ)=-f(ξ) /ξ
命题得证
温馨提示:答案为网友推荐,仅供参考
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第1个回答 2014-11-19
令g(x)=xf(x),0<=x<=1.
那么g(0)=g(1)=0,g'(x)=xf'(x)+f(x).
则根据罗尔定理,存在ξ∈(0,1),使得g'(ξ)=ξf'(ξ)+f(ξ)=0,即f'(ξ)=-f(ξ)/ξ.
[附上思路:根据结论考虑f'(x)+xf(x),看它能否变成某个新函数的导数,容易观察得出xf(x)就是所需要的.]
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设f(x)在
[0,1]
上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0,证明:存在ξ
属于(0,1...
答:
用罗尔定理
证明:
令F(x)=
xf
(x)则 ∵
f(x)在(0,1)内可导,在【0,1】上连续,
知
F(x)在在(0,1)内可导,在
【0,1】上连续 ∵F(0)=
F(1)=0
,由罗尔定理存在一点§∈(0,1),使得F'(§)=0.即§f’(§)+f(§)=0 ∴ 存在一点§
∈(0,1),使
§f’(§)+f...
设f(x)在
[0,1]
上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0,证明存在
一点
ξ∈(0,1
...
答:
证明:
令g(x)=x^2,G(x)=g(x)*f(x)。因为
f(x)在
[0,1]
上连续在(0,1)内可导,且
g(x)在[0,1]上连续在(0,1)内可导,那么G(x)=g(x)*f(x)在[0,1]上连续在(0,1)内可导。且G(x)'=(g(x)*f(x))'=(x^2*f(x))'=x^2f'(x)+2
xf(
x)而G(0)=g(0)*f(0
)=
...
设f(x)在
[0,1]
上连续,在(0,1)内可导,f(
0
)=0,
k为正整数
,证明:
答:
【答案】:令F(x)=(x-1)kf(x),显然
F(x)在
[0,1]
上连续,在(0,1)内可导,且F(
0)=
F(1)=0
,∴根据罗尔定理,至少存在一点
ξ∈(0,1)
使得F'
(ξ)
=0.即k(ξ-1)k-1f(ξ)+(ξ-1)kf'(ξ)=0,即
ξf
'(ξ)+kf(ξ)=f'(ξ).$令F(x)=f(x)[f(1-x)]k,显然F(x)...
设f(x)在
[0,1]
上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0,证明:存在ξ
属于(0,1...
答:
令g(x)=x^3*
f(x)
,则g(x)在[
0,1]上连续
,
在(0,1)内
可导 因为g(0)=0,g(1)=f(1)=0,所以根据罗尔定理 存在ξ∈(0,1),使得g'(ξ)=0 3ξ^2*f(ξ)+ξ^3*f'(ξ)=0 3f(ξ)+ξf'(ξ)=0 证毕
设函数
f(x)在
〔0,1〕
上连续,在(0,1)内可导,且f(
0)=
f(1)=0,证明
答:
F=f(x)
e^(x/2),F在区间[0,1]満足罗尔定理的条件.由罗尔定理
,在(0,1)内
至少有一点
ξ,使F
'
(ξ)=0,
但F'(x)=f'(x)e^(x/2)+(1/2)f(x)e^(x/2),代入即得结论 本回答由提问者推荐 举报| 评论 2 6 nsjiang1 采纳率:65% 擅长: 数学 教育/科学 理工学科 ...
设f(x)在
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答:
用罗尔定理
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令F(x)=
xf
(x) 则 ∵
f(x)在(0,1)内可导,在【0,1】上连续,
知
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F(1)=0
,由罗尔定理存在一点§∈(0,1),使得F'(§)=0.即§f’(§)+f(§)=0 ∴ 存在一点§
∈(0,1),使
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.求证
:存在ξ∈(0,1
...
答:
0)=0 当
x=
1时,F(1)=1^2*
f(1)=0
而且F(x)在[0,1]内
连续,F(x)在(0,1)内可导
故根据Rolle中值定理得
:存在
g
∈(0,1),
使得f'(g)=0 而f'(x)=2
xf(
x)+x^2*f'(x)故有:2gf(g)+g^2*f'(g)=0且g∈(0,1)即得:-2f(g)=g*f'(g)故:f'(g)=-2f(g)/g ...
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