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设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0,试证明至少存在一点ζ∈(0,1),使f′(ζ)=-2f(ζ)/ζ
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推荐答案 2013-12-17
解:令F(X)=Xf(x),F(1)=1*f(1)=0,F(0)=0*f(0)=0.且F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导.
满足罗尔中值定理的条件,故存在ζ使得,F′(ζ)=0,F'(X)=f(x)+Xf'(x).故f(ζ)+ζf′(ζ)=0。
所以f′(ζ)=-2f(ζ)/ζ。
证毕。
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设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导且f(1)=0,证明存在一点
§
∈(0,1
...
答:
用罗尔定理证明:令F(x)=
xf
(x) 则 ∵
f(x)在(0,1)内可导,在
【0,1】
上连续,
知
F(x)在在(0,1)内可导,在
【0,1】上连续 ∵F(0)=
F(1)=0,
由罗尔定理
存在一点
§∈(0,1),使得F'(§)=0.即§f’(§)+f(§)=0 ∴ 存在一点§
∈(0,1),使
§f’(§...
设f(x)在
【0,1】
上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0
.
证明
:
存在
ξ
∈(0,1
...
答:
∴g
(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导
∵g(0
)=0,
g(1)=
f(1)=0
∴根据罗尔中值定理知道
,存在
ξ
∈(0,1)
使得g'(ξ)=0 ∴g'(ξ)=f(ξ)+ξf'(ξ)=0 ∴f'(ξ)=-f(ξ) /ξ 命题得证
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(
0
)=0,
k为正整数
,证明
:
答:
【答案】:令F(x)=(x-1)kf(x),显然
F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且F(
0)=
F(1)=0,
∴根据罗尔定理,
至少存在一点
ξ
∈(0,1)
使得F'(ξ)=0.即k(ξ-1)k-1f(ξ)+(ξ-1)kf'(ξ)=0,即ξf'(ξ)+kf(ξ)=
f
'(ξ).$令F(x)=f(x)[f(1-x)]k,显然F(x)...
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0,证明
:
存在
ξ属于(0,1...
答:
用罗尔定理证明:令F(x)=
xf
(x)则 ∵
f(x)在(0,1)内可导,在
【0,1】
上连续,
知
F(x)在在(0,1)内可导,在
【0,1】上连续 ∵F(0)=
F(1)=0,
由罗尔定理
存在一点
§∈(0,1),使得F'(§)=0.即§f’(§)+f(§)=0 ∴ 存在一点§
∈(0,1),使
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ξ
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证明:令g(x)=x^2,G(x)=g(x)*f(x)。因为
f(x)在[0,1]上连续在(0,1)内可导,且
g(x)在[0,1]上连续在(0,1)内可导,那么G(x)=g(x)*f(x)在[0,1]上连续在(0,1)内可导。且G(x)'=(g(x)*f(x))'=(x^2*f(x))'=x^2f'(x)+2
xf(
x)而G(0)=g(0)*f(0
)=
...
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0,证明
:
存在
ξ属于(0,1...
答:
用罗尔定理证明:令F(x)=
xf
(x) 则 ∵
f(x)在(0,1)内可导,在
【0,1】
上连续,
知
F(x)在在(0,1)内可导,在
【0,1】上连续 ∵F(0)=
F(1)=0,
由罗尔定理
存在一点
§∈(0,1),使得F'(§)=0.即§f’(§)+f(§)=0 ∴ 存在一点§
∈(0,1),使
§f’(§)+...
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0,证明
:
存在
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答:
令g(x)=x^3*
f(x)
,则g
(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导
因为g(0)=0,g(1)=
f(1)=0,
所以根据罗尔定理 存在ξ
∈(0,1),
使得g'(ξ)=0 3ξ^2*f(ξ)+ξ^3*f'(ξ)=0 3f(ξ)+ξf'(ξ)=0 证毕
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0
证明至少存在一点
g
∈(0
...
答:
F(1)=1^2*
f(1)=0
而且
F(x)在[0,1]
内
连续,F
(x)
在(0,1)内可导
故根据Rolle中值定理得:存在g
∈(0,1),
使得f'(g)=0 而f'(x)=2
xf
(x)+x^2*f'(x)故有:2gf(g)+g^2*f'(g)=
0且
g∈(0,1)即得:-2f(g)=g*f'(g)故:f'(g)=-2f(g)/g 有不懂欢迎追问 ...
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