证明：1+1/2+1/3+1/4+...+1/n不是整数

Question

用反证法该如何证。
貌似看到过一种，是用奇数偶数证的
张景中的一本书中看到的

Answer 1

这里说的的对任意一个确定的正整数n，1+1/2+1/3+1/4+…+1/n不是整数，和极限没有关系（用了极限也难以证明原结论）。

假定n>1（n=1时结论不成立）

假设1+1/2+1/3+1/4+…+1/n=M为整数，现在来推出矛盾。
设P=[1, 2, …, n]为1、2、……、n的最小公倍数（不是取n!），用P乘以上式两边，
P*(1+1/2+1/3+1/4+…+1/n)=P*M， ………………①

设k是满足2^k≤n的最大正整数，即2^k≤n<2^(k+1)。
显然2^k|P*M (n≥2, 2^k|P)。
下面证明P*(1+1/2+1/3+1/4+…+1/n)=P/1+P/2+…+P/n不是2^k的倍数，甚至不是2的倍数。

显然P*1/i是整数（i=1, 2, … . n）。
把P分解因数，其中质因数2出现的次数为k（2^k≤n<2^(k+1)，所以2^k|P；又因为P是最小公倍数，所以P的因数中恰好含有k个2）。故P/2^k不再含素因子2，即为奇数。

P/1、P/2、…、P/n这些数中，除P/2^k外，其余各项都是2的倍数（因为分母的质因数中至多含有(k-1)个2，而分子含有k个2）。故P/1+P/2+…+P/n不是2的倍数（其中只有1个奇数，其余都是偶数）。这与①式右边为偶数矛盾。

楼主提到的张景中院士的那本书不是太清楚，不知道那里用什么方法。不过之前辅导一个小学生时，倒是遇到类似的问题：
证明1+1/2+1/3+1/4+…+1/49不是整数（可以考虑素数5，而不必考虑2）

Answer 2

根据题目的意思，是说对于任意不小于5的正整数都不是整数。先让n取无穷。
设S=1+1/2+1/3+1/4+...+1/n+...=1+（1/2+1/3）+（1/4+1/5+1/6+1/7）+（1/8+...+1/15）...
＜1+（1/2+1/2）+（1/4+1/4+1/4+1/4）+（1/8+...+1/8）...
=1+1+1/2+1/（2^2）+1/（2^3）+...+1/（2^n）+...
=1+【2（1-（1/2）^n）】（其中n趋向无穷大）＜3
对于任意不小于5的正整数n，S=1+1/2+1/3+1/4+...+1/n＞2.
故2＜S＜3
也即S不可能为正整数，对于任意取大于等于5的n。
反证法正在思考中。。。
我的解答错了，那个和式，对于n取无穷，它的值也无穷的。。。 每一项都是相对应的比较大，和式却反而较小。

楼上的把题目理解错了，题目是说对于任意≥5的正整数，而楼上的理解成了对于无穷大的n
而且把结论想当然了，数学是讲究严格的逻辑的，他说没有循环节就没有啊。虽然事实上的确没有，但是要证明啊

Answer 3

当n->∞，1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n->∞，是个发散级数
当n很大时，有个近似公式：1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n=γ+ln(n)
γ是欧拉常数，γ=0.57721566490153286060651209...
ln(n)是n的自然对数（即以e为底的对数，e=2.71828...）追问

高等数学来做谁不会
要的是简单明了的初等方法

追答

1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n为无限大)是一个无穷小数你承认吧，不然我们讨论有理数还是无理数就没什么意义了。无限循环小数都有循环节，所以无限循环小数都可以根据等比数列知识划成两个互质整数相除的形式。
而1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n为无限大)不存在循环节，不可能根据等比数列知识划成两个互质整数相除的形式。所以它终究是无理数。

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