用数学归纳法证明1+1/2+1/3+1/4+...+1/(2n-1)≤n

Question

（1）当n=1时，1/(2^1-1)≤1 成立；
（2）当n=2时，1+1/2+1/3≤2,也成立；
首先我想知道这里的n=2时1和1/3中间的1/2怎么来的

Answer 1

把n=2代入
1+1/2+1/3+1/4+...+1/(2n-1)
就可以得到1+1/2+1/3了
1+1/2+1/3+1/4+...+1/(2n-1)的意思是从1开始加到1/(2n-1)这一项，例如如果n=3,就是
1+1/2+1/3+1/4+1/5,即从1开始加到1/5这一项，中间的那几项不能漏的追问

那接下来怎么证啊

追答

假设当n=k时成立，则有
1+1/2+1/3+1/4+...+1/(2k-1)≤k
那么当n=k+1时，
1+1/2+1/3+1/4+...+1/[2(k+1)-1]
=1+1/2+1/3+1/4+...+1/(2k+1)
=1+1/2+1/3+1/4+...1/(2k-1)+1/2k+1/(2k+1)
≤k+1/2k+1/(2k+1)
接下来只要证得1/2k+1/(2k+1)≤1即可
1/2k+1/(2k+1)=（4k+1)/(4k²+2k)
而由于k为正整数，故4k²≥4k，2k>1,所以4k²+2k≥4k+1，即
1/2k+1/(2k+2)=（4k+1)/(4k²+2k)≤1
所以1+1/2+1/3+1/4+...+1/[2(k+1)-1]≤k+1/2k+1/(2k+1)≤k+1
证毕