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设函数f（x）在[0，1]上二阶可导，f″（x）＞0，f（0）=0，则（ ）A．f（1）＞2f（12）B．f（1）＜2f
设函数f（x）在[0，1]上二阶可导，f″（x）＞0，f（0）=0，则（ ）A．f（1）＞2f（12）B．f（1）＜2f（12）C．f′（1）＞2f′（12）D．f′（1）＜2f′（12）
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推荐答案 推荐于2016-12-01
因为f″（x）＞0，
所以f（x）在[0，1]上为严格凹函数，
故有：
f(
0+1
2
)
＜
1
2
(f(0)+f(1))
．
又因为f（0）=0，
故有：
f(
1
2
)
＜
1
2
f(1)
，
即：f（1）＞
2f(
1
2
)
．
故选项A正确．
取f（x）=x
2
，
则 f′（x）=2x，
从而有：f′（1）=
2f′(
1
2
)
=1．
故选项C、D均不正确．
综上，正确选项为A．
故选：A．
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设函数f(x)在
区间
[0,1]上二阶可导,
且
f(0)=0,f
''
(x)>0,
证明:f(x)/x在...
答：
因为 f''
(x)>0
所以 f'(x)为增函数
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对f(x)/x求导，只要证明分子大于0，即f'(x)>f(x)/x，这可利用拉格朗日中值定理
，f(x)
/
x=f
'(t),t属于
(0,
x),由于f''
(x)＞0，
从而一阶导数单调递增，故f'(x
)>f
'(t
)=f(x)
/x
函数f(x)
是〔
0,1
〕的
二阶可导
函数,且
f″(x)
≤0
答：
f(x
^2
)=f(1
/3)+f‘（1/3
)(x
^2-1/3)+ 1/2 f''(t)(x^2-1/3)^2, 其中 t在 1/3 与 x^2 之间。f″≤0 ==》f(x^2) <= f(1/3)+f‘（1/3)(x^2-1/3)两边 从0到1对x积分， 即得结论。
证明:若
函数f(x)在[0,1]上二阶可导,
且?x∈[0,1],有|
f″(x)
|≤
1,
又f...
答：
解答：证明：由于
函数f（x）在[0，1]上二阶可导，f（x）
在（0，1）内取到最大值∴?ξ∈
（0，1），
使得f′（ξ
）=0
∴对f′（x）在x=ξ处，利用泰勒公式进行一阶展开，得到f′（x）=f′（ξ）+
f″（
η）（x-ξ），其中η处于x和ξ之间而f′（ξ）=0∴f′（x）=f″（η）（x...
如何判断
一
个
函数在
某点是否有拐点?
答：
⑴求函数的额二阶导数f''(x)；⑵令f''(x
)=0，
解出此方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f''(x)不存在的点；⑶对于⑵中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点X0，检查f''
(x)在X0
左右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点(X
0,f(X0))
是拐点，当两侧的符号相同时，点(X0...
设函数f (x)在[0 ,1]上二阶可导,f (0) =
f (1) = 0,
且f (x)在[0...
答：
拉格朗日定理最多能证明到f''(c)>4,无法证明f''(c)≥8
(1)在[0,1]上
使用罗尔中值定理 根据罗尔中值定理，结合
二阶可导，
最小值为-1，知，存在一点0<m<1，使得：f（m）=-1，f'(m
)=0
（
2）在[0,m]使用拉格朗日中值定理 存在0<ξ1<m,f'(ξ1)=[f(m)-
f(0)
]/(m-
0)=
-1...
f(x)在【
0,1
】
上二阶可导,
且
f(0)=0,f(1)
=
1,f(x)在
0的导数等于1,在1的...
答：
而
f(x)在[0,1]
连续, 由介值定理, 存在ξ ∈ (0,1)使f(ξ) = 0.(2) 考虑函数g(x) = f(x)e^(-x
), 则
g(x)在[0,1]连续且可导.并有g
(0) =
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(1)
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有连续的
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)
二阶可导
且
f″(x)>0(
x∈(0...
答：
令
F（x）=
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，F″（x）=
13xf′(x)-13
f(x)，F
″′（x）=13xf″(x)．因为
f″（x）＞0，
所以F″′（x）＞0，从而F″
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