设f（x）在[0，a]有连续的一阶导数，在（0，a）二阶可导且f″（x）＞0（x∈（0，a）），又f（0）=0．证明

设f（x）在[0，a]有连续的一阶导数，在（0，a）二阶可导且f″（x）＞0（x∈（0，a）），又f（0）=0．证明：∫a0xf（x）dx＞2a3∫a0f（x）dx．

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推荐答案 2014-09-03

令F（x）=

∫

x0

tf(t)dt-

2x

3

∫

x0

f(t)dt（x∈（0，a）），则
F′（x）=

1

3

xf(x)-

2

3

∫

x0

f(t)dt，
F″（x）=

1

3

xf′(x)-

1

3

f(x)，
F″′（x）=

1

3

xf″(x)．
因为f″（x）＞0，
所以F″′（x）＞0，
从而F″（x）在[0，a]上为严格单调递增函数，故?x∈（0，a]，F″（x）＞F″（0）=-

1

3

f（0）=0．
所以F′（x）在[0，a]上为严格单调递增函数，故?x∈（0，a]，F′（x）＞F′（0）=0．
所以，F（x）在[0，a]上为严格单调递增函数，故?x∈（0，a]，F（x）＞F（0）=0．
从而，F（a）＞0，
即：

∫

a0

xf(x)dx＞

2a

3

∫

a0

f(x)dx．

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