高等数学，泰勒公式运用 设函数fx在[0,1]上二阶可导,且F0=F1,|f''x|《 2,求

Question

高等数学，泰勒公式运用

设函数fx在[0,1]上二阶可导,且F0=F1,|f''x|《 2,求证|f'x|≤1 求具体过程

Answer 1

f(0)=f(x)+f'(x)(0-x)+f''(α)/2·(0-x)²
(α∈(0，x))
f(1)=f(x)+f'(x)(1-x)+f''(β)/2·(1-x)²
(β∈(x，1))
相减，利用f(0)=f(1)
得到
0=f'(x)+f''(β)/2·(1-x)²-f''(α)/2·x²
∴f'(x)=f''(α)/2·x²-f''(β)/2·(1-x)²
∴|f'(x)|≤|f''(α)|/2·x²+|f''(β)|/2·(1-x)²
≤x²+(1-x)²
=1+2x(x-1)
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Answer 2

因为f(x)在[0,1]上二阶可导，所以f(x)可以展开成一阶泰勒公式：
f(x)=f(a)+f'(a)*(x-a)+f''(c)*[(x-a)^2]/2!，其中0<=a<=1，c介于x和a之间
①令x=0
f(0)=f(a)-f'(a)*a+f''(c1)*(a^2)/2，其中0<=c1<=a
②令x=1
f(1)=f(a)+f'(a)*(1-a)+f''(c2)*[(1-a)^2]/2，其中a<=c2<=1
下式减上式，得：

f(1)-f(0)=f'(a)+(1/2)*[f''(c2)*(1-a)^2-f''(c1)*a^2]
因为f(0)=f(1)
所以f'(a)=(1/2)*[f''(c1)*a^2-f''(c2)*(1-a)^2]
因为|f''(x)|<=2，所以|f''(c1)|<=2，且|f''(c2)|<=2
|f'(a)|=(1/2)*|f''(c1)*a^2-f''(c2)*(1-a)^2|
<=(1/2)*[|f''(c1)*a^2|+|f''(c2)*(1-a)^2|]
<=(1/2)*[2a^2+2(1-a)^2]
=2a^2-2a+1
=2(a-1/2)^2+1/2
因为0<=a<=1，所以2(a-1/2)^2+1/2<=1
即|f'(a)|<=1
证毕追问

还是谢谢你

追答

客气

追问

高数大神？

以后有不会的就靠你了

追答

呵呵，有啥不懂的大家一起交流

追问

好的好的

Answer 3

这玩意估计很多天都难有人回答的上来吧