设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，k为正整数，证明：

如题所述

推荐答案 2023-12-20

【答案】：令F(x)=(x-1)^kf(x)，
显然F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(0)=F(1)=0，
∴根据罗尔定理，至少存在一点ξ∈(0，1)使得F'(ξ)=0．
即k(ξ-1)^k-1f(ξ)+(ξ-1)^kf'(ξ)=0，即ξf'(ξ)+kf(ξ)=f'(ξ)．$令F(x)=f(x)[f(1-x)]^k，
显然F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(0)=F(1)=0，
∴根据罗尔定理，至少存在一点ξ∈(0，1)使得F'(ξ)=0，
即f'(ξ)[f(1-ξ)]^k-kf(ξ)[f(1-ξ)]^k-1f'(1-ξ)=0，
即 (∵0＜ξ＜1，∴0＜1-ξ＜1，∴f(1-ξ)＞0)

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