为什么增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩，所以后者的极大线性无关组是前者的极大线性无关组？

Question

华科课本112页用来证明定理4.2的，书上只说了是部分组的关系。请详细解说一下。谢谢

Answer 1

设系数矩阵 A=(a1,a2,...,an)
则增广矩阵 (A,b) = (a1,a2,...,an,b)

再设 ai1,...,air 是 A 的列向量组 a1,a2,...,an 的一个极大无关组.
由已知 r(A)=r(A,B)=r
所以我们在向量组 a1,a2,...,an,b 中找到了含有r个线性无关的向量ai1,...,air,
且其所含向量的个数达到了向量组a1,a2,...,an,b 的秩
故 ai1,...,air 是 a1,a2,...,an,b 的极大无关组
所以 系数矩阵的极大线性无关组是增广矩阵的极大无关组

Answer 2

矩阵的行秩等于列秩，两个矩阵的秩一样，自然列秩也一样，所以列向量的极大线性无关组一样。追问

秩相等，只能说明极大线性无关组的向量个数相等，无法说明连里面的向量都一样吧

追答

什么是增广矩阵，什么是系数矩阵？系数矩阵的列向量是不是增广矩阵的列向量？那么，系数矩阵的极大线性无关组的个数和增广矩阵的极大线性无关组的个数是否一样，系数矩阵的极大线性无关组是不是增广矩阵的极大线性无关组？

Answer 3

是这样 “即向量B可以由矩阵A的列向量线性表示，有rA=r（A,B）”这个命题是对的 设A的列向量的极大无关组为β1,……βr,则这r个向量不仅可以表示追问

实际上我说的问题正是在证明线性方程组的解的定理，而这个定理通常用来说明你给的这个结论。还是没有回答上啊。部分组与极大线性无关组。我想这个问题是别的帖上抄不来的。