线性代数 例2.17的答案中为什么矩阵的秩是那样的？

Question

为什么α（1、2、3）线性相关，系数矩阵的秩就小于3呢？为什么α（2、3、4）线性无关，增广矩阵的秩就大于等于3呢？谢谢回答

Answer 1

因为矩阵的秩等于其列向量组秩，而向量组的秩则等于其极大无关组所含向量的个数。
A=(a1,a2,a3)
因为a1,a2,a3线性相关，所以向量组a1,a2,a3的极大无关组所含向量的个数一定小于3，故向量组的秩小于3，即
r(A)=r(a1,a2,a3)<3
又由于a2,a3,a4线性无关，故向量组a1,a2,a3,a4中至少有3个线性无关的向量，所以
r(a1,a2,a3,a4)>=3。追问

感谢您的回答，您的回答我一遍就看懂了。谢谢。

Answer 2

第一个问题:α1、α2、α3线性相关–>齐次线性方程k1α1+k2α2+k3α3=0有非零解–>系数矩阵的秩r(α1，α2，α3)<3;第二个问题:α2、α3、α4线性无关–>>齐次线性方程k1α1+k2α2+k3α3=0有非零解–矩阵的秩r(α2，α3，α4)=3–>增广矩阵的秩r(α1、α2，α3，α4)>=r(α2，α3，α4)=3;追答

第一个问题:α1、α2、α3线性相关–>齐次线性方程k1α1+k2α2+k3α3=0有非零解–>系数矩阵的秩r(α1，α2，α3)>齐次线性方程k2α2+k3α3+k4α4=0只有零解>–系数矩阵的秩r(α2，α3，α4)=3–>增广矩阵的秩r(α1、α2，α3，α4)>=r(α2，α3，α4)=3;

前面回答编辑手误，这里更正。

追问

感谢您的回答。

Answer 3

求解矩阵的秩，还是要理解什么是矩阵的秩。
求解的方法不同，看是什么题了。追问

感谢您的回答，能再说的详细点吗？