增广矩阵(A,b)比系数矩阵A多一列,所以r(A)≤r(A,b)≤r(A)+1。
若A是m×n矩阵,r(A)=n,则非齐次方程组Ax=b (A)
A、可能有解;B、一定有唯一解;C、一定无解;D、一定有无穷多解。
只能得到n≤r(A)≤n+1,那么r(A,b)=n与r(A,b)=n+1皆有可能。若r(A,b)=n,则r(A)=r(A,b)=n,方程组Ax=b有唯一解。若r(A,b)=n+1,则方程组Ax=b无解。
矩阵的秩:
定理:矩阵的行秩,列秩,秩都相等。
定理:初等变换不改变矩阵的秩。
定理:如果A可逆,则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。
定理:矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};
引理:设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n,则A的列秩,秩都等于n。
设矩阵Am*n的秩r(A)=n,则非齐次线性方程组Ax=b的解的情况,可能有解 ,一定有唯一解 ,一定无解, 一定有无穷多解,选哪个呀?
追答r(A)=n说明m>=n,就是未知数少于方程数,可能有解
追问r(A)=n说明增广矩阵也得秩也等于n呀,那就是有唯一解呀?这个哪点错了呀
追答r(A)=n说明增广矩阵也得秩也等于n?这是不正确的,也有可能n+1