为什么系数矩阵的秩必须等于增广矩阵的秩,方程才有解

Question

为什么系数矩阵的秩必须等于增广矩阵的秩,方程才有解

Answer 1

秩是怎么来的你理解吧？阶梯化消到最简。

那么方程组求解只能进行初等行变变换，你一定知道所谓的初等行变换就是消除掉没有用的方程，也就是线性相关的行向量，留下有用的并且形式最简的方程。

okay，如果你理解到这里。非齐次线性方程组，AX=B组成的增广矩阵，经过初等行变换，也就是方程组的消除，最后增广矩阵的秩比系数矩阵大1，也就是假设最后一个方程组前面的x的系数都是0，但是增广的最后一行却有个数。
举个例子吧：0*X1+0*X2+0*X3=4 那么请问这个方程组可能存在么？不可能啊！x取什么值也不可能满足这个方程存在，所以无解。

Answer 2

举个简单的例子，二元一次方程组：
x+y=1，x+y=2，你可以明显看出来这个方程组是无解的。现在用线性代数的方法去求解，下面是该方程组的增广矩阵：
1 1 1
1 1 2
初等行变换之后变成：
1 1 1
0 0 1
系数矩阵秩为1，增广矩阵秩为2，不等，所以无解。
什么意思呢？简单来说，这里的增广矩阵和系数矩阵，差了这样的方程0x+0y=1，很明显对于任何x、y都不可能有0x+0y=1成立，所以是无解的。
那么对于n元1次方程组，增广矩阵和系数矩阵如果秩不等，假定差值为r，那么就差了r个方程：0x1+0x2+……+0xn=A（非零常数），所以对于任何x1……xn都不会让以上r个式子成立，所以方程组无解。本回答被网友采纳