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方程组无解时,为什么增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加一?
如题所述
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推荐答案 2013-09-05
这种是在非齐次方程组的情况下才成立,(因为齐次方程一定有解)
无解说明初等变换后方程组中存在矛盾方程,即0=常数
也就是增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩
假设一个方程组由5个方程组成,且无解,
它的系数矩阵的秩是3,那么在进行初等行变换的时候,有2行可以化为0,
增广矩阵是增加了一列非零数,初等变换后,只能有1行为零,另一行存在一个非零数(也就是矛盾方程),其他不变,即秩是4,所以无解时增广矩阵=系数矩阵+1
For example:
1 2 3| 7 1 2 3 1 2 3 7 1 2 3 7
2 4 6| 8 系数矩阵初等变换= 0 0 0 增广矩阵= 0 0 0 8~~ 0 0 0 8
3 6 9| 9 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 9
无解时,可能存在多个矛盾方程,但是经过初等行变换之后,都可以化简为一个矛盾方程,因此
非齐次方程组无解时,增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加1。
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第1个回答 推荐于2017-11-26
楼上的讲法是对的, 但最好不要从逐个方程去看矛盾.
Ax=b无解说明b不能由A的列来线性表示, 既然如此[A,b]比A增加了一列, 且新增的列又是与先前的列无关的, 秩就恰好增加1.
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方程组无解时,为什么增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加一?
答:
Ax=b无解说明b不能由A的列来线性表示, 既然如此[A,b]比A增加了一列, 且新增的列又是与先前的列无关的
,
秩
就恰好增加1.
系数矩阵的秩
与
增广矩阵的秩
的关系?
答:
在一般情况下,增广矩阵的秩总是大于或等于系数矩阵的秩。这是因为增广矩阵包含了更多的信息,包括常数项,这使得增广矩阵的秩有可能比系数矩阵的秩更大。具体来说,如果线性
方程组
有解,那么
增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩
。这是因为,如果线性方程组有解,那么可以通过增广矩阵来找到这个解,而这个解也...
证明一个线性
方程组增广矩阵的秩
比
系数矩阵的秩
最多大1
答:
显然系数矩阵的列向量,都是增广矩阵的列向量,因此 他们公共部分的列向量,是相同的列向量组,秩相等
。但因为增广矩阵的列向量,比系数矩阵多1个列向量。如果这个多出来的列向量,不能被左侧的列向量组线性表示,则 增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩+1 否则(这个多出来的列向量,可以被左侧的列向量组线...
为什么增广矩阵的秩
比
系数矩阵的秩
大?
答:
增广矩阵的秩代表对应非齐次方程解向量的个数,系数矩阵的秩代表系数对应的齐次方程的解向量个数
。系数矩阵是矩阵中的众多类型之一,简单来说系数矩阵就是将方程组的系数组成矩阵来计算方程的解 。系数矩阵常常用来表示一些项目的数学关系,比如通过此类关系系数矩阵来证明各项目的正反比关系。方程组的解与...
为什么方程组
有解
无解
要看
系数矩阵的秩
和
增广矩阵的秩
之间的关系
答:
用矩阵来解释,写出
增广矩阵
并变换为行最简矩阵后 系数阵秩若小于
增广秩
会出现0=常数的情况,这时
方程组无解
。有解必须秩相等。而且你是先接触秩的概念,然后用秩来解释方程组解的情况很自然。只是在解线性方程组
的时候,
对
系数矩阵
进行的一个增广矩阵,切勿以为增广矩阵只是右端添加一列,其实是在原...
增广矩阵的秩
与原矩阵的秩的关系
答:
系数矩阵的秩也为2。根据上面的公式,可以发现
增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩
和1的差。5. 总结 通过上面的分析,可以看出增广矩阵的秩与原矩阵的秩的关系非常密切。在解决线性
方程组时,
我们可以利用增广矩阵的秩来判别其解的情况。除此之外,在其他数学领域中,也有很多应用需要用到矩阵的秩。
非齐次线性
方程组
的
增广矩阵的秩
是?
答:
齐次线性方程组的
增广矩阵
B
的秩
R(B)=r+1。计算过程:因为非齐次线性
方程组无解,
所以说R(A)不等于R(B),又因为R(A)等于r,若R(B)小于R(A)那么非齐次线性方程组有解,条件不成立,所以说R(B)>R(A),又因为B矩阵实在A
矩阵的
基础上加上了一列,所以说R(B)≤R(A)+1。
线性代数中
增广矩阵的秩
一定大于
等于系数矩阵的秩
吗
答:
增广矩阵
(A,b)比
系数矩阵
A多一列,所以r(A)≤r(A,b)≤r(A)+1。若A是m×n矩阵,r(A)=n,则非齐次
方程组
Ax=b (A)A、可能有解;B、一定有唯一解;C、一定无解;D、一定有无穷多解。只能得到n≤r(A)≤n+1,那么r(A,b)=n与r(A,b)=n+1皆有可能。若r(A,b)=n,则r(A...
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