拉格朗日乘数法条件为不等式怎么办

Question

实际问题如下z=x^2-y^2在闭区间x^2+4Y^2《=4上的最大值和最小值 老师只说了当条件为等于时的方程结合。。当条件为不等式怎么做，还是不能用拉格朗日而应该用代入或者别的。求详解，ps凑数法的请不要回这不是奥数。。。。

Answer 1

拉格朗日乘数法经常用来寻找带约束条件下函数（泛函）的极值。
你所指的条件为不等式应该值得是约束条件为不等式。
解决方法：
我们可以将不等式转变为等式。例如：条件为x^2+y^2<1，可以设x^2+y^2=r，然后求在此条件下的极值。然后对r<1进行二次求极值即可。

Answer 2

看到x^2+4y^2≤4首先想到的应该是三角换元啊，而不是用Lagrange乘值法
令x=2rcosθ，y=rsinθ，其中0≤r≤1，θ∈[0，2π）

z=4r^2(cosθ)^2-r^2(sinθ)^2=5r^2(cosθ)^2-r^2

所以当r=1，cosθ=±1时z取到最大值4，此时x=±2，y=0
当r=1，cosθ=0时z取到最小值-1，此时x=0，y=±1本回答被提问者采纳