AD是三角形ABC中线，F是AD中点，BF的延长线交AC于E。求证：AE=1/2EC.

Question

AD是三角形ABC中线，F是AD中点，BF的延长线交AC于E。求证：AE=1/2EC.
(多种回答)

Answer 1

◆证法1:取EC的中点G,连接DG.(见图1)

∵BD=DC;EG=GC.

∴DG∥BE.(三角形中位线的性质)

∴⊿AEF∽⊿AGD,AE/EG=AF/FD.

又AF=FD,则AE/EG=AF/FD=1,AE=EG.

∴AE=EG=GC=(1/2)EC.

◆证法2:取BE的中点G,连接DG.(见图2)

∵BD=DC;BG=GE.

∴DG∥CE,DG=(1/2)EC.(三角形中位线的性质)

∴∠GDF=∠EAF;又DF=AF,∠DFG=∠AFE.

∴⊿GDF≌⊿EAF(ASA),AE=DG=(1/2)EC.

◆证法3:作AG∥BC,交BE的延长线于G.(见图3)

则∠GAF=∠BDF.(两直线平行,内错角相等)

又AF=DF,∠AFG=∠DFB.

∴⊿GAF≌⊿BDF(ASA),AG=BD.

又BD=DC,则AG/BC=1/2.

∵AG∥BC.

∴⊿AGE∽⊿CBE,AE/EC=AG/BC=1/2,得AE=(1/2)EC.

◆证法4:作CG∥BE,交FD的延长线于G.(见图4)

∴∠GCD=∠FBD;⊿AEF∽⊿ACG.

又CD=BD,∠CDG=∠BDF,则⊿GCD≌⊿FBD(ASA),DG=DF.

又DF=AF,则AF/AG=1/3.

∴AE/AC=AF/AG=1/3,即AE=(1/3)AC=(1/2)EC.

Answer 2

1)

取AB中点H，连接DH，因为H，D分别为AB & BC中点，因此 DH平行AC 且交AE于AE中点I

因此三角形BCE中，ID = EC /2

因为DH平行AC，因此角1 = 角2 & 此角3 = 角4，加上AF = DF，三角形FID与三角形FEA相似，因此ID = AE

=> AE = EC/2

2)

取CE中点G，连接DG
三角形BCE中,G，D分别为EC & BC中点，因此 DH平行BE 

三角形ADG中,DH平行BE 且AF=DF，因此AE = EG
所以AE=EG=CG => AE=1/2CE