极值的第一充分条件和第二充分条件是什么？

Question

如题所述

Answer 1

1、第一充分条件：

（1）如果x∈（x₀-δ，x₀），有f'（x）＞0；而x∈（x₀，x₀+δ），有f'（x）＜0，则f（x）在x₀处取得极大值。

（2）如果x∈（x₀-δ，x₀），有f'（x）＜0；而x∈（x₀，x₀+δ），有f'（x）＞0，则f（x）在x₀处取得极小值。

（3）如果当x∈（x₀-δ，x₀）及x∈（x₀，x₀+δ）时，f'（x）符号相同，则f（x）在x₀处无极值。

2、第二充分条件

设f（x）在x₀处具有二阶导数，且f'（x₀）=0，f''（x₀）≠0，那么当f''（x₀）＜0时，函数f（x）在x₀处取得极大值；当f''（x₀）＞0，函数f（x）在x₀处取得极小值。

注意事项：

极值的第一充分条件在使用的过程中，需要判断导函数在某个区间的符号，有些题目中不容易判断出导函数符号。极值的第二充分条件有一个地方没有讨论到，就是如果当二阶导数值也为0，该如何判断极值，这个由极值的第三充分条件补上。

第二充分条件这个定理强大的地方在于，不需要任何单调性的判断，只需要知道在x₀的一阶和二阶导数值就可以判定极值。即有局部性质就能判定极值。

Answer 2

在数学中，寻找一个函数的极值（最大值或最小值）可以使用极值的第一充分条件和第二充分条件。
第一充分条件（必要条件）是指如果一个函数在某点有极值，那么该点的导数（或梯度）为零或不存在。
第二充分条件是指如果一个函数在某点的导数（或梯度）为零，并且在该点的二阶导数（或二阶梯度）存在，并满足二阶导数（或二阶梯度）的某些性质，那么该点是一个极值点。
具体来说：
- 第一充分条件：设函数 f(x) 在点 x = c 处可导。如果 f'(c) = 0 或 f'(c) 不存在，则 c 点可能是一个极值点。但需要注意，这只是一个必要条件，不一定是充分条件，也就是说，即使 f'(c) = 0，c 点不一定是极值点。
- 第二充分条件：设函数 f(x) 在点 x = c 处可导。如果 f'(c) = 0，并且 f''(c) 存在，并且满足以下条件：
- 当 f''(c) > 0 时，c 点是一个极小值点。
- 当 f''(c) < 0 时，c 点是一个极大值点。
- 当 f''(c) = 0 时，第二充分条件无法确定。
这些充分条件是在单变量函数的情况下。在多变量函数的情况下，需要考虑梯度和海森矩阵，以及相应的一阶和二阶偏导数来确定极值点。
这些条件只是判断极值点的一种方法，并不是一定能够找到所有的极值点。
在实际问题中，还需要结合具体的函数和问题进行综合分析和求解。本回答被网友采纳

Answer 3

极值的第一充分条件是：如果一个函数在某一点处取得极值，那么该点的导数为零，或者该点的导数不存在。

极值的第二充分条件是：如果一个函数在某一点处导数存在并且为零，且在该点的导数的邻域内二阶导数存在，那么根据二阶导数的符号来判断该点的极值类型。若二阶导数大于零，则该点为极小值；若二阶导数小于零，则该点为极大值；若二阶导数等于零，则无法确定该点的极值类型，需进一步分析。