一个函数能够取到极值的充要条件是: ①存在使导数等于0的点, 即在该点处 f' = 0。②使导数等于0的那个x值,左右两边导数符号相反。若 f'左 > 0，f'右 < 0，则为极大值。若 f'左 < 0，f'右 > 0，则为极小值。
在数学分析中，函数的最大值和最小值（最大值和最小值）被统称为极值（极数），是给定范围内的函数的最大值和最小值（本地 或相对极值）或函数的整个定义域（全局或绝对极值）。皮埃尔·费马特（Pierre de Fermat）是第一位发现函数的最大值和最小值数学家之一。
如集合理论中定义的，集合的最大值和最小值分别是集合中最大和最小的元素。 无限无限集，如实数集合，没有最小值或最大值。
极值是一个函数的极大值或极小值。如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）。该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。
一个函数能够取到极值（最大值或最小值）的充要条件是它在该极值点处的导数为零或不存在。
充分条件：
如果一个函数在某个点处的导数为零或不存在，那么这个点就是函数的潜在极值点。也就是说，函数可能在该点处取得极值，但并不保证一定会取得极值。
必要条件：
如果一个函数在某个点处取得极值，那么在该点处的导数必定为零或不存在。这意味着函数在极值点的导数为零或不存在是取得极值的必要条件。
需要注意的是，虽然导数为零或不存在是函数取得极值的必要条件，但并不是充分条件。在函数的极值点处，导数为零或不存在，但函数也可能取得其他类型的极值，如拐点。
综上所述，函数在某个点处的导数为零或不存在是函数取得极值的必要条件，但并不是充分条件。要确定函数是否在某个点处取得极值，还需要进一步的分析，例如使用二阶导数测试或边界条件来判断。
一个函数能够取到极值的充要条件是: ①存在使导数等于0的点, 即在该点处 f' = 0。②使导数等于0的那个x值,左右两边导数符号相反。若 f'左 > 0，f'右 < 0，则为极大值。若 f'左 < 0，f'右 > 0，则为极小值。
在数学分析中，函数的最大值和最小值（最大值和最小值）被统称为极值（极数），是给定范围内的函数的最大值和最小值（本地 或相对极值）或函数的整个定义域（全局或绝对极值）。皮埃尔·费马特（Pierre de Fermat）是第一位发现函数的最大值和最小值数学家之一。
如集合理论中定义的，集合的最大值和最小值分别是集合中最大和最小的元素。 无限无限集，如实数集合，没有最小值或最大值。
极值是一个函数的极大值或极小值。如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）。该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。
在数学中，为了确定函数是否在某个点取极值，需要通过一些附加的条件来验证。以下是确定函数取极值的必要条件：
1. 极值点必须是函数定义域内的点。
2. 在极值点的左侧和右侧，函数的导数的符号必须不同（也就是说，从负数变为正数或从正数变为负数）。
3. 如果函数在极值点的某一侧是增函数（导数大于零），则极值点是函数的最小值点；如果函数在极值点的某一侧是减函数（导数小于零），则极值点是函数的最大值点。
4. 如果函数在极值点处的导数不存在，则需要进一步分析函数在该点的性质，例如通过左右极限、图像等来确定极值。
需要注意的是，以上提到的是极值的必要条件，但并不一定是充分条件。还可能存在其他情况，如驻点（导数为零但不是极值点），或者在函数定义域边缘取得极值的情况等。因此，确定函数是否取得极值时需要综合考虑以上必要条件以及其他相关因素。
f(x)存在极值的充要条件，通俗的说，就是：f'(x)=0的解为x0、在x0点左右，f'(x)的符号相反。