高一数学题：定义在（-1,1）上的函数f（x）是奇函数，且当x属于（0,1）时 f（x）=（2^x)/(4^x+1)

Question

1、求f（x）在（-1,1）上的解析式
2、判断f（x）在（0,1）上的单调性，并给予证明
3、当实数m为何值时，关于x的方程f（x）=m在（-1,1）上有解？

Answer 1

当x属于(-1,0)时
f(x)=-f(-x)=-2^(-x)/(4^(-x)+1)
=-2^x/(1+4^x)
f(x)是定义在R上的奇函数,f(0)=0
f(x)在(-1,1)上的解析式:
x属于(-1,0)时,f(x)=-2^x/(4^x+1)
x属于(0,1)时,f(x)=2^x/(4^x+1)
x=0时，f(x)=0

2)减函数
证明：
0<x1<x2<1
1/f(x1)-1/f(x2)=(2^x1+1/2^x1)-(2^x2+1/2^x2)
=(2^x1-2^x2)-(1/2^x2-1/2^x1)
=(2^x1-2^x2)(1-1/2^x12^x2)
2^x1>2^x2,2^x1-2^x2>0
2^x1x2>1,1-1/2^x1x2>0
所以，1/f(x1)-1/f(x2)>0

x属于(0,1)时,f(x)=2^x/(4^x+1 )>0
所以，f(x2)>f(x1)
f(x)在(0,1)上是减函数
3）
当实数m为何值时，关于x的方程f（x）=m在（-1,1）上有解？
也就是求f(x）的值域
根据f(x)在（0,1）是减函数
而且f(x)是奇函数，所以f(x)在（-1,0）上也是减函数
f(1)=2/5
f(-1)=-2/5
∴-2/5<x<2/5
∴m∈[-2/5,2/5]

Answer 2

1、因为f(x)是奇函数，所以有f(x)=-f(-x),所以当x属于（-1,0）时，-x属于（0,1）则有f(x)=(2^(-x))/(4^(-x)+1),所以f(x)={(2^x)/4^x+1),x属于（0,1）；（2^（-x））/(4^(-x)+1)}
2、求导
3、求值域

Answer 3

（1） 因为f(x)为奇函数，且0在其定义域内，
所以f(0)=0
设-1<x<0，则0<-x<1.
则f(x)=-f(-x)=-2^-x/(4^-x+1)=-2^x/(4^x+1)
所以f(x)是一个分段函数.
-1<x<0时，f(x)=-2^x/(4^x+1)
x=0时， f(x)=0
0<x<1时，f(x)=2^x/(4^x+1)
(2)令0<x1<x2<1
f(x2)-f(x1)=2^x2/(4^x2+1)-2^x1/(4^x1+1)
=[2^(x2+2x1)+2^x2-2^(x1+2x2)-2^x1]/[(4^x1+1)(4^x2+1)]
=[(2^x1-2^x2)2^(x1+x2)-(2^x1-2^x2)]/ [(4^x1+1)(4^x2+1)]
=(2^x1-2^x2)[2^(x1+x2)-1]/ [(4^x1+1)(4^x2+1)]
因为0<x1<x2<1
所以2^x1-2^x2<0, 2^(x1+x2)-1>0
所以f(x2)-f(x1)<0
所以f(x)在(0,1)上的单调递减.
(3)显然可以看出当x从0的右方趋向于0时(把x=0代入（0,1）的解析式)，f(x)趋向于1/2；当x从1的左方趋向于1时(把x=1代入（0,1）的解析式)，f(x)趋向于2/5. 又第二小题已证得f(x)在(0,1)上的单调递减.
由此可知：当0<x<1时，2/5<f(x)<1/2
因为为f(x)奇函数，
所以-1<x<1时，f(x)的值域为{x∣-1/2<x<-2/5或2/5<x<1/2或x=0}
所以要使f(x)=m有解，则m的范围应该是：
-1/2<m<-2/5或2/5<m<1/2或m=0

一般而言，就奇偶函数，已知一半定义域的解析式，求另一半定义域的解析式，做法如下：
直接设x属于所求的那一半定义域，则-x就属于解析式已知的那一半定义域，由此可得f(-x)，再利用奇偶性得到f(x)。
还有奇函数比偶函数多出来的一个性质就是：若0在其定义域内，则必有f(0)=0，这是一条很重要且经常使用起来可以使题目简化的性质，千万别忘了。