已知函数F(X)定义在(-1,1)上的奇函数,当X属于(0,1)

Question

已知函数F(X)定义在(-1,1)上的奇函数,当X属于(0,1)，有F(X）=2^x/4^x+1
（1）求函数F(X)在(-1,1)上的解析式
（2）判断函数F(X)在（-1,1）上的单调性，并加以证明。
（3）解不等式F(X^2-2）+F（2X-1)<0

Answer 1

（1）x∈(-1，0)时，-x∈(0,1).
f(-x)=2^(-x)/(4^(-x)+1)= 2^x/(4^x+1)
∴f(x)=- f(-x) =- 2^x/(4^x+1) (x∈(-1，0))
对于奇函数来说，f(-x)=- f(x)且f(0)=0
综上x∈(0,1)时，f(x)=2^x/(4^x+1)
X=0时，f(0)=0
x∈(-1，0)时，f(x)= - 2^x/(4^x+1)
(2)0<X1<X2<1时，
f(x1)-f(x2)= 2^x1/(4^x1+1)- 2^x2/(4^x2+1)
=(2^x1•(4^x2+1)- 2^x2•(4^x1+1))/[ (4^x1+1) (4^x2+1)]
=[(2^x1- 2^x2)+2^(x1+x2)(2^x2-2^x1)] /[ (4^x1+1) (4^x2+1)]
=[(2^x1- 2^x2)(1-2^(x1+x2))] /[ (4^x1+1) (4^x2+1)]
因为0<X1<X2，所以=(2^x1- 2^x2)<0,
2^(x1+x2)>1,(1-2^(x1+x2)<0
(4^x1+1) (4^x2+1)>0
故f(x1)-f(x2)>0 f(x1)>f(x2)
F(x)在（0，1）上是减函数。
因为函数是奇函数，所以f(x)在（-1，0）上也是减函数。
从而可知，f(x)在（-1，1）是减函数.
（3）解不等式F(X^2-2）+F（2X-1)<0?会不会是f(X^2-2）+f（2X-1)>0
但不管是什么，都可根据f(x)在（-1，1）的单调性将问题转化
由f(X^2-2）+f（2X-1)>0，得f(X^2-2）>-f（2X-1)
对奇函数来说-f（2X-1)=f（1-2x），f(X^2-2）>f（1-2x)
又f(x)在（-1，1）是减函数，所以只要证明X^2-2<1-2x就能证明f(X^2-2）+f（2X-1)>0
证明：X^2-2<1-2x即x^2-2-1+2x<0,
x^2+2x+1-4<0,
(x+1)^2-2^2<0,
(x+3)(x-1)<0
当-1<x<1时，x+3>0,x-1<0;所以,(x+3)(x-1)<0
f(X^2-2）+f（2X-1)>0

Answer 2

第一问；因为F<X>是奇函数，当x属于<0,1>则有-x属于<-1,0>F<-X>=-F<X>=-<2^X/4^X+1>=-2^X/4^X+1《所以再用换元法》：F<x>=-2^-X/4^-X+1 X属于<-1,0>那么可以得出F<X>在<-1，1>是一个分段函数

Answer 3

已知f（x）为定义在（-1，1）上的奇函数，当x∈（0，1）时f（x）＝
（1）证明函数f（x）在x∈（0，1）时是奇函数

证明：
f(-x)=-f(x)

因此f（x）在x∈（0，1）时是奇函数

（2）求f（x）在（-1，1）上的解析式

解：设x∈（-1,0）

则-x∈(0,1)

此时f(-x)=2^(-x)/[2^(-x)+1]

=1/(2^x+1)

=-f(x)
当x∈（0，1）时f（x）＝

故综上，当x∈（0，1）时f（x）＝

当x∈（0，1）时f（x）＝