已知f(x)为定义在(-1,1）上的奇函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=2^x/(4^x+1)。

Question

(1)求f(x)在（-1，1）上的解析式
（2）研究f(x)的单调性
（3）求f（x）的值域

Answer 1

（1）x∈(-1，0)时，-x∈(0,1).
f(-x)=2^(-x)/(4^(-x)+1)= 2^x/(4^x+1)
∴f(x)=- f(-x) =- 2^x/(4^x+1) (x∈(-1，0))
对于奇函数来说，f(-x)=- f(x)
∴f(-0)=- f(0) f(0)=0
综上知x∈(0,1)时，f(x)=2^x/(4^x+1)
X=0时，f(0)=0
x∈(-1，0)时，f(x)= - 2^x/(4^x+1)
(2)0<X1<X2<1时，
f(x1)-f(x2)= 2^x1/(4^x1+1)- 2^x2/(4^x2+1)
=(2^x1•(4^x2+1)- 2^x2•(4^x1+1))/[ (4^x1+1) (4^x2+1)]
=[(2^x1- 2^x2)+2^(x1+x2)(2^x2-2^x1)] /[ (4^x1+1) (4^x2+1)]
=[(2^x1- 2^x2)(1-2^(x1+x2))] /[ (4^x1+1) (4^x2+1)]
因为0<X1<X2，所以2^x1< 2^x2
2^(x1+x2)>1,
故f(x1)-f(x2)>0 f(x1)>f(x2)
F(x)在（0，1）上是减函数。
因为函数是奇函数，所以f(x)在（-1，0）上也是减函数。
从而可知，f(x)在（-1，1）是减函数.
（3）当x∈(0,1)时，f(x)=2^x/(4^x+1)=1/(2^x+2^(-x))
2^x+2^(-x)≥2，0<1/(2^x+2^(-x))≤1/2
0<f(x) ≤1/2，
因为函数是奇函数，x∈(-1，0)时，-1/2≤f(x)<0
又f(0)=0
所以函数值域为[-1/2,1/2].