全微分这题思考题怎么写？

Question

求求求

Answer 1

首先我们需要回顾一下全微分的定义：若函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$附近具有连续偏导数，则 $\mathrm{d}f(x_0,y_0) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\mathrm{d}x + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\mathrm{d}y$，称为 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处的全微分。

下面以一个具体的例子来说明如何写全微分的思考题。

【例题】已知函数 $f(x,y) = x^2+y^2$，令 $x=1+t,y=2-t$，求 $\mathrm{d}f$ 在 $(1,2)$ 处的值。

【解答】我们需要先将 $x$ 和 $y$用 $t$ 表示出来，即 $x=1+t,y=2-t$，代入 $f(x,y)$ 中得到 $f(t) = (1+t)^2 + (2-t)^2 =2t^2 +6t +5$，然后对 $f(t)$ 求导得到 $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} =4t +6$，再将 $t$ 替换回 $x$ 和 $y$ 得到 $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$，即$$\mathrm{d}f = \frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y = (2x\mathrm{d}x) + (2y\mathrm{d}y) = (4x+6y)\mathrm{d}t$$将 $x=1,y=2$代入得到 $\mathrm{d}f = (4(1)+6(2))\mathrm{d}t =20\mathrm{d}t$，因此在 $(1,2)$ 处的全微分为 $\mathrm{d}f =20\mathrm{d}t$。

Answer 2

根据全微分公式. 可以近似计算

f(x+Δx,   y+Δy） ≈ f(x,y)+f'x(x,y) Δx+ f'y(x,y) Δy

（约等于）

所以，f(x+Δx,   y+Δy）- f(x,y) ≈ f'x(x,y) Δx+ f'y(x,y) Δy

如果体重相等，身高不同， 则

f(x+Δx,   y+Δy）- f(x,y)=(√Hm/3600)'*Δm= √H/7200m)'*Δm  (对m求导）

所以，身高高的表面积减少的多。

如果体重相等，身高不同， 则

f(x+Δx,   y+Δy）- f(x,y)=(√Hm/3600)'*ΔH= √m/7200H)'*ΔH （对H求导）

所以，体重重的表面积减少的多。

如果体重相等，身高不同， 则

f(x+Δx,   y+Δy）- f(x,y)=(√H/7200m)'*Δm+√m/7200H)'*ΔH （对H, m求导）

所以，（1/m+1/H) 大的表面积减少的多。