PA垂直平面ABC，AC垂直BC,PA=AC=1,BC=根号2,求二面角A-PB-C的大小. 用向量解,谢谢!

Question

如题所述

Answer 1

应楼主要求，用向量法解决~~(说起来也并不复杂的、)
解：
∵PA⊥平面ABC
又AC、BCㄷ平面ABC
∴PA⊥AC，PA⊥BC
且AC⊥BC
即PA、AC、BC两两垂直
如图，以A为坐标原点，过点A作∥BC的直线为x轴，AC、AP所在直线分别为y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：
A(0，0，0)，B(√2，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)
∴向量AP＝(0，0，1)，向量PB＝(√2，1，－1)，向量CP＝(0，－1，1)
设平面ABP的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)
则有：
{n1•向量AP＝0
{n1•向量PB＝0
即有：
{z1＝0
{√2x1＋y1－z1＝0
取x1＝1，则y1＝－√2，z1＝0
∴平面ABP的一个法向量n1＝(1，－√2，0)
设平面BCP的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)
同理，可求得法向量n2＝(0，1，1)
设二面角A－PB－C的平面角为θ，则
|cosθ|＝|cos
|＝|n1•n2|/(|n1||n2|)＝(√2)/(√3•√2)＝(√3)/3
∵二面角A－PB－C为锐角
∴二面角A－PB－C的余弦值为(√3)/3
∴二面角A－PB－C的大小为arccos(√3)/3．
[求二面角的方法]
⑴几何法：利用二面角的定义，找到二面角的平面角，通过解三角形得到二面角的大小，但是二面角的确定是一个难点
⑵坐标法：建立适当的空间直角坐标系，求得相关两个半平面的法向量n1，n2，则cos
＝(n1•n2)/(|n1||n2|)．设二面角的平面角为θ，则θ＝
或θ＝π－
作为理科生，我建议用坐标法(即向量法)，思路简单，而且模式固定，可使抽象问题具体化，复杂问题简单化，解题思路直观明了，把问题直接转化为向量运算问题．这也正是作为理科生解决空间立体几何问题的一个优势哟~~~

Answer 2

来自大科学团队的解答
过A做AM垂直PC于M
易知
PA⊥BC,AC⊥BC
=>
BC⊥PAC
=>
BC⊥AM,BC⊥PC
又
AM⊥PC
=>
AM⊥PBC
cosA-PB-C
=
S(PMB)/S(PAB)
=
1/2*S(PBC)/S(PAB)
=
1/2*1/
√3/2
=
1/√3