旋转体的体积和它所应的对平面图形面积有什么关系吗？ 比如半圆绕直径成球体，长方形绕边成圆柱

Question

如题所述

Answer 1

半圆绕直径成球体：

        对应的平面图形的面积为 s=πR²/2   //: 半圆的面积；

        球体的体积：V=4πR³/3

        V与s的关系：V/s=8R/3，     即：V = 8Rs/3

  2.   长方形 (a×b) 绕边成圆柱：

        长方形 (a×b) 的面积：s=ab

        长方形绕a边的圆柱的体积：V=πab²

         V与s的关系：V/s=πb，即：V = πbs

  3.   一般地讲：定义在[a，b]上的平面曲线f(x)，绕x轴旋转形成的体积：

                                            V=∫(b，a) πf²(x)dx = π∫(b，a) f²(x)dx

        平面曲线的面积：        s=∫(b，a) f(x)dx

        引入比例系数：            k=V/s =  π∫(b，a) f²(x)dx / ∫(b，a) f(x)dx

        那么                              V = k s                       (1)

  4.   可见旋转体的体积V与平面图形的面积s之间存在着如(1)的关系。

Answer 2

为y = 1/2X平方与直线y = 2交点-2,2），（2,2）。

平面图形的面积S =∫[-2,2]（2-x ^ 2/2）DX
= 2∫（2 - χ^ 2/2）[0,2] dx的
= 2（2X-X ^ 3/6）[0,2]
= 16/3。

围绕X轴旋转的旋转体的体积得到的。
V =π∫[-2,2] [2 ^ 2 - （X ^ 2/2）^ 2] DX
=2π∫[0,2] [2 ^ 2 - （X ^ 2/2）^ 2] DX
=2π（4X-X ^ 5/20）| [0,2]
=64π/ 10。