设函数f（x）在[0，1]上可导，且满足f（1）=0，求证：在（0，1）内至少存在一点ξ，使f′（ξ）=-f(ξ)ξ

设函数f（x）在[0，1]上可导，且满足f（1）=0，求证：在（0，1）内至少存在一点ξ，使f′（ξ）=-f(ξ)ξ．（提示：利用中值定理证明）．

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推荐答案推荐于2016-12-01

证明：令F（x）=xf（x），由题意F（x）在[0，1]上连续，在（0，1）上可导，
且F（0）=0，F（1）=0，
由罗尔定理可知在（0，1）内至少存在一点ξ，使F′（ξ）=0，
即f（ξ）+ξf′（ξ）=0，
所以，在（0，1）内至少存在一点ξ，使f′(ξ)＝?

f(ξ)

ξ

．

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