求函数z=x^2－y^2在闭区域x^2+4y^2≤4上的最大值和最小值

Question

谢谢各位大神！

Answer 1

详情如图所示

有任何疑惑，欢迎追问

Answer 2

（1）先计算Z=x^2-y^2在区域内部x^2+4y^2<4（开区域）上的最大值和最小值
Zx'=2x=0，Zy'=-2y=0
得驻点(0,0)
因为A=Zxx''=2，C=Zyy''=-2<0，B=Zxy''=0
B^2-AC=4>0
所以(0,0)不是极值点

即Z=x^2-y^2在开区域x^2+4y^2<4上没有最大值和最小值
（2）再计算Z=x^2-y^2在区域边界x^2+4y^2=4上的最大值和最小值
因为4-4y^2=x^2>=0，所以y^2<=1
Z=x^2-y^2
=(4-4y^2)-y^2
=4-5y^2
∈[-1,4]
综上所述，最大值为4，最小值为-1

Answer 3