求函数z=x^2-2y^2;在闭域x^2+y^2小于等于4上的最大值与最小值

Question

如题所述

Answer 1

求函数z=x²-2y²;在闭域x²+y²â‰¤4上的最大值与最小值
解：令∂z/∂x=2x=0，得x=0；令∂z/∂y=-4y=0，得y=0；(0，0)是函数z=x²-2y²åœ¨å›­åŸŸx²+y²â‰¤4内的
唯一驻点，对应的函数值是0；函数z=x²-2y²åœ¨å›­åŸŸçš„周边上，用x²=4-y²ä»£å…¥å¾—z=4-y²-2y²
=4-3y² ≤4。再用y²=4-x²ä»£å…¥å¾—z=x²-2(4-x²)=3x²-8≥-8；故函数z=x²-2y²åœ¨å›­åŸŸx²+y²â‰¤4上的最小
值为-8，最大值为4。

Answer 2

x^2 + y^2 <= 4 也就是说 0<= x^2 <= 4 0<= y^2 <= 4

所以 z <= 4 - 0 = 4
z >= 0 - 8 = -8
显然这个等号是可以取到的，所以最大值是4最小值是-8

Answer 3

x^2+y^2<=4是一个以原点为中心，2为半径的圆内的区域，令x^2-y^2=0与圆的函数组成方程组，解出交点，代入z=x^2-2y^2中可得