用拉格朗日乘数法求函数z=x^2-y^2在闭区间x^2+4y^2<=4上的最大值和最小值

Question

你们谁能做的啊，求指导啊，我把三个等式联立了，但是我求不出啦这三个未知数的值，你们谁能求出来吗？？？谢谢你们大家的帮忙啦。。。。。。。谢谢啦

Answer 1

看到x^2+4y^2≤4首先想到的应该是三角换元啊，而不是用Lagrange乘值法
令x=2rcosθ，y=rsinθ，其中0≤r≤1，θ∈[0，2π）

z=4r^2(cosθ)^2-r^2(sinθ)^2=5r^2(cosθ)^2-r^2

所以当r=1，cosθ=±1时z取到最大值4，此时x=±2，y=0
当r=1，cosθ=0时z取到最小值-1，此时x=0，y=±1追问

恩呢，谢谢你的回答啦，但是，我们要求的使用拉格朗日乘数法，所以。。。。

Answer 2

顶楼上。
这么简单的问题，有必要非用高数解决不可吗？追问

这是老师的要求