线性方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等

Question

这个说法是正确的还是错误的

Answer 1

这个说法是正确的。应该书上有讲。如果系数矩阵与增广矩阵秩不相等，方程组无解。如果系数矩阵与增广矩阵秩相等且等于未知变量个数，则有唯一解。系数矩阵与增广矩阵秩相等，小于未知变量个数，有无穷解

Answer 2

首先增广矩阵的秩一定不小于系数矩阵的秩（因为这只不过是增加了一个列向量）。若增广矩阵的秩大于系数矩阵，则可通过高斯消去法将系数对角化，这将有0=b≠0的情况，矛盾！此时方程无解。若秩相等，方程有解很容易证明且解空间为齐次方程解空间关于某个解向量的平移。