系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等为什么是非齐次线性方程组有解的充要条件呢

Question

如题所述

Answer 1

首先增广矩阵的秩一定不小于系数矩阵的秩（因为这只不过是增加了一个列向量）。若增广矩阵的秩大于系数矩阵，则可通过高斯消去法将系数对角化，这将有0=b≠0的情况，矛盾！此时方程无解。若秩相等，方程有解很容易证明且解空间为齐次方程解空间关于某个解向量的平移。