一个矩阵与其伴随矩阵的秩的关系是什么？

Question

如题所述

Answer 1

一个矩阵与其伴随矩阵的秩的关系：

1、如果 A 满秩，则 A* 满秩；

2、如果 A 秩是 n-1，则 A* 秩为 1 ；

3、如果 A 秩 < n-1，则 A* 秩为 0 。（也就是 A* = 0 矩阵）

扩展资料

证明如下所示：

1、若秩r(A)=n，说明行列式|A|≠0，说明|A*|≠0，所以这时候r(A*)=n；

2、若秩r(A)<n-1，说明，行列式|A|=0，同时，矩阵A中所有n-1阶子式均为0，即行列式|A|的所有代数余子式均为0，所以这时候r(A*)=0;

3、若秩r(A)=n-1，说明，行列式|A|=0，但是矩阵A中存在n-1阶子式不为0，对此有：
AA*=|A|E=0

4、从而r(A)+r(A*)小于或等于n，也就是r(A*)小于或等于1，又因为A中存在n-1阶子式不为0，所以Aij≠0，得r(A*)大于或等于1，所以最后等于1.