矩阵A的秩与其伴随矩阵A*的秩有什么关系？ 若有，望证明一下。

Question

矩阵A的秩与其伴随矩阵A*的秩有什么关系？
若有，望证明一下。大一高等代数

Answer 1

1、如果矩阵A是满秩，那么其伴随矩阵也是满秩；

2、如果矩阵A（n阶矩阵）的秩是n-1，那么伴随矩阵的秩是1；

3、如果矩阵A的秩是小于n-1的话，伴随矩阵的秩是0。

矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数，通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。 

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。即如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

扩展资料：

矩阵的秩的性质：

1、矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

2、初等变换不改变矩阵的秩。

3、矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

4、设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

5、当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

6、当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）

Answer 2

伴随阵A*的秩与A的秩有如图所示的关系，需要分三种情况讨论。

追问

在第二行中，不是只有当r=n时才有|A|=0吗？

在第二种情况中

不好意思，记错了

倒数第二行中为什么A*≠0，它的秩就等于1了呢?

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