求数列{（2n+1）*3的n次方}的前n项和sn

Question

如题所述

Answer 1

解：设该数列为{aₙ}，即aₙ=3ⁿ(2n+1)。

则Sₙ=3×3+3²×5+3³×7+……+3ⁿ(2n+1)。

故3Sₙ=       3²×3+3³×5+……+3ⁿ(2n-1)+3ⁿ⁺¹(2n+1)。

以上两式相减，得-2Sₙ=9+(3²×2+3³×2+……+3ⁿ×2)-3ⁿ⁺¹(2n+1)，等式右边括号内可由等比数列前n项和公式求得，结果为3ⁿ⁺¹-9。故

-2Sₙ=9+(3ⁿ⁺¹-9)-3ⁿ⁺¹(2n+1)，即

Sₙ=3ⁿ⁺¹n。

对于由等差数列和等比数列相乘得到的数列，设其通项公式为aₙ=aqⁿ(nd+b),采用错位相减法求其前n项和Sₙ的一般方法如下：

Sₙ=aq(d+b)+aq²(2d+b)+aq³(3d+b)+……+aqⁿ(nd+b)

上式两边同乘以q得

qSₙ=              aq²(d+b)+aq³(2d+b)+……+aqⁿ[(n-1)d+b]+aqⁿ⁺¹(nd+b)

错位相减得

(1-q)Sₙ=aq(d+b)+(aq²d+aq³d+……aqⁿd)-aqⁿ⁺¹(nd+b)=，其中(aq²d+aq³d+……aqⁿd)项可由等比数列前n项和公式求得。之后，等式两边同除以(1-q)，即得Sₙ表达式。

Answer 2

解：数列{an}的通项公式为an=(2n+1)*3^n. 求其前n项和Sn.
分析： 通项公式为一个等差数列(2n+1), 乘以一个等比数列3^n. 一般使用错位相减法。
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先用等比数列的求和公式来说明，何为错位相减法。
设某一等比数列首项为a1, 公比为q, 求Sn
Sn=a1+a1*q+a1*q^2+...+a1*q^(n-1). (1)
q*Sn= a1*q+a1*q^2+...+a1*q^(n-1)+a1*q^n. (2)
q≠1时， (1)-(2)得：
(1-q)Sn=a1-a1*q^n
Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q), q≠1. (3)
Sn=n*a1 , q=1.
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题目中的{an}无法直接使用错位相减的方法，需要将数列拆分，
an=2n*3^n+ 3^n, 设 bn=n*3^n, bn的前n项和为 Sbn, Cn=3^n. Cn的前n项和为 SCn
则an可以表示为 an=2*bn+Cn. Sn= 2Sbn+SCn.
Cn=3^n, 为首项等于3，公比为3的等比数列， 用公式(3),求得
SCn=3^1+3^2+3^3+...+3^n=(3^(n+1)-3)/2.
bn=n*3^n, Sbn=b1+b2+b3+...+bn
Sbn=1*3^1+2*3^2+3*3^3+...+n*3^n (4)
3*Sbn= 1*3^2+2*3^2+3*3^3+...+(n-1)*3^n+n*3^(n+1) (5)
(4)-(5)得：
-2Sbn=3^1+3^2+3^3+...+3^n-n*3^(n+1)
=SCn-n*3^(n+1).
化简得： Sbn=½(n*3^(n+1)-SCn)
Sn=Sn= 2Sbn+SCn=n*3^(n+1).

Answer 3

数列求和方法有，公式代入法，错位相减法，分类求和法，倒序相加法，裂项求和法，还有分组求和法（奇数偶数分开的时候）

这个问题，看到（2n+1）*3^n  采用错位相减法

一般等差数列和等比数列 相乘，用此方法

Answer 4

解：
Sn=(2·1+1)·3+(2·2+1)·3²+(2·3+1)·3³+...+(2n+1)·3ⁿ
=3·3+5·3²+7·3³+...+(2n+1)·3ⁿ
3Sn=3·3²+5·3³+...+(2n-1)·3ⁿ+(2n+1)·3ⁿ⁺¹
Sn-3Sn=-2Sn=3·3+2·3²+2·3³+...+2·3ⁿ-(2n+1)·3ⁿ⁺¹
=2·(1+3+3²+...+3ⁿ)-(2n+1)·3ⁿ⁺¹+1
=2·1·(3ⁿ⁺¹-1)/(3-1) -(2n+1)·3ⁿ⁺¹+1
=-2n·3ⁿ⁺¹
Sn=n·3ⁿ⁺¹
总结：
本题属于典型的数列综合题，用到了等比数列求和公式、错位相减法。
解题思路：
利用系数{2n+1}成等差数列，{3ⁿ}成等比数列，正好符合错位相减法的前提条件。
将Sn乘以3以后，用Sn-3Sn，就得到非零常数·等比数列前若干项和的形式，再进一步进行化简，得到最终结果。
用到的公式：
等比数列求和公式：
对于等比数列{an}，公比q≠1，则数列前n项和Sn=a1(qⁿ-1)/(q-1)

Answer 5

Sn=3*3+5*3^2+……+(2n+1)*3^n,①
3Sn=.....3*3^2+……+(2n-1)*3^n+(2n+1)*3^(n+1),②
①-②，得-2Sn=3*3+2(3^2+3^3+……+3^n)-(2n+1)*3^(n+1)
=9+2[9-3^(n+1)]/(1-3)-(2n+1)*3^(n+1)(等比数列的前n项和公式)
=9-9+3^(n+1)-(2n+1)*3^(n+1)
=-2n*3^(n+1),
两边都除以-2，得Sn=n*3^(n+1).