高数多元函数求极值问题（回答前看清下面我说的要求）

Question

高数多元函数求极值问题（回答前看清下面我说的要求）这属于多元函数条件极值问题，麻烦用这一节的知识解答（即用AC-B²＞0来说明有极值，我怎么做也是＜0没有极值，别的方法我也会，麻烦用求条件极值并用AC-B²判断极值的这个方法做一下）

Answer 1

5：x+y=1，y=1-x

z=xy=x（1-x）=x-x²，变成一元函数求极值。x=1/2有极大值1/4；

或者：

x²-x+z=0，

Δ=（-1）²-4×1×z=1-4z≥0，z≤1/4；

条件极值做法：条件φ（x，y）=x+y-1=0，

z=f(x,y)=xy

F(x,y；λ）=f(x,y)+λφ（x，y）=xy+λ(x+y-1)

F'x=f'x+λφ'x=y+λ=0,y=-λ;

F'y=f'y+λφ'y=x+λ=0,x=-λ;

F'λ=φ（x，y）=x+y-1=0,-λ-λ-1=0,λ=-1/2,可能的极值点（1/2,1/2）；

zmax=xy=1/4

对于条件极值，不应该用AC-B²的判别法。

A=F''xx=0,B=F''xy=1,C=F''yy=0,B²-AC=1>0,该判别法认为没有极值。

AC-B²的判别法适用于无条件极值。无条件时xy∈（-∞，+∞）,没有极值。

追问

书上例题

这里书上说用二元函数极值的充分条件判断

这不就是条件极值问题用的AC-B²的方法吗

还是我理解的有问题？

追答

需要重新构造函数，将条件函数与要求极值的函数合并，同时又能保证新函数与原函数至少在极值点是相等的，而且新函数在极值点有极值。拉格朗日乘数法不能判定是否极值，以及极值类型，这个判断，要根据问题本身。如果原函数没有极值，拉格朗日法也是没有办法判断。条件极值的一种常见情况，就是原函数没有极值，加了一些限制之后，才有了极值。
因为x+y=1，我们可以构造F(x,y)=xy(x+y)=x²y+xy²；
F'x=2yx+y²=0，y=0，x=1，或2x+y=0，x+1=0，x=-1；y=2；
F'y=x²+2xy=0，x=0，y=1，或者x+2y=0,1+y=0，y=-1，x=2；
两组没有共同点，无解。
当然还有其他构造法，不容易找到符合要求的函数。

你给的例子，求极值函数是3元，加入条件之后，成为2元函数，对于这个二元函数，求极值是无条件的！因此可以用B²-AC原则，而不是对于原来的3元函数使用类似原则。
本题，加入条件之后，就变成了一元二次函数，对这个一元二次函数求极值，同样是没有条件的。可惜，不是二元函数，不能用B²-AC原则。

追问

谢谢

Answer 2

拉格朗日插值……

追问

你怎么知道这样是不是极大值呢？

追答

x在1/2处变化ε 则z减少ε² z变小了 表明ε是最大值

x在1/2处变化ε 则z减少ε² z变小了 表明z＝1/4是最大值

好了 我知道你疑惑了 ABC判别方法是只有一个xy的多项式 没有条件限制

这个题目有x+y＝1 属于有条件限制 所以只能拉格朗日