求多元函数的极值，主要有两种方法：无条件极值法和拉格朗日乘数法。
1、无条件极值法
这种方法适用于没有约束条件的情况，即函数在整个定义域内求极值。具体操作为：首先对函数的每个自变量求偏导数，令偏导数为零，得到方程组f'x(x,y)=0和f'y(x,y)=0。其次，对函数的每个自变量求二阶偏导数，令A=f\"xx(x,y),B=f\"xy(x,y),C=f\"yy(x,y)，并计算AC-B^2的值。
如果AC-B^2>0，则该点为极值点；如果AC-B^2<0，则该点不是极值点；如果AC-B^2=0，则该点需要进一步判断。再根据前面得到的方程组，解出所有可能的极值点，并代入原函数，计算出对应的函数值。比较各个函数值的大小，确定最大值和最小值。
2、拉格朗日乘数法
这种方法适用于有约束条件的情况，即函数在满足某些条件下求极值。具体操作为：首先，如果有一个约束条件φ(x,y)=0，那么构造拉格朗日函数F(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)，并对每个变量求偏导数，得到方程组∂F/∂x=0,∂F/∂y=0,∂F/∂λ=0。
如果有多个约束条件φ(x,y)=0，ψ(x,y)=0等，那么构造拉格朗日函数F(x,y,λ,μ)=f(x,y)+λφ(x,y)+μψ(x,y)等，并对每个变量求偏导数，得到相应的方程组。再根据前面得到的方程组，解出所有可能的极值点，并代入原函数或者拉格朗日函数，计算出对应的函数值。比较各个函数值的大小，确定最大值和最小值。
多元函数的研究内容：
1、多元函数的定义域和值域：定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围，值域是指函数在定义域内所能取到的因变量的取值范围。确定定义域和值域，需要考虑函数表达式中的各种限制条件，如分母不能为零、根号下不能为负、对数里不能为零或负等。
2、多元函数的极限和连续性：极限是指当自变量趋于某一点或无穷时，函数值趋于某一确定的数或无穷的性质，连续性是指当自变量在某一点附近变化时，函数值也随之连续变化的性质。求解多元函数的极限和连续性，需要利用极限的定义或运算法则，以及连续性的判别定理或保号定理等。
3、多元函数的最大值和最小值：最大值和最小值是指函数在某一区域内所能取到的最大或最小的因变量值，也称为极值。求解多元函数的最大值和最小值，需要利用无条件极值法或拉格朗日乘数法，以及极值点的判别定理或边界点的比较法等。