已知,AD是△ABC的中线,AE⊥AB于A,AF⊥AC于A，且AE=AB,AF=AC,求证:AD=1/2EF

Question

图暂时没有，就自己画吧（要连接BC、EF）

Answer 1

证明:延长AD到M,连接BM.
又BD=DC,∠BDM=∠CDA,则⊿BDM≌ΔCDA(SAS),得BM=AC=AF;∠BMD=∠CAD,BM平行于AC.
则:∠ABM=180度-∠BAC;
又∠BAE=∠CAF=90度,则:∠EAF=180度-∠BAC.
即:∠ABM=∠EAF; 又AB=AE.故⊿ABM≌ΔEAF(SAS),得EF=AM=2AD,即AD=(1/2)EF.

Answer 2

根据三角形中线定理： AB^2 + AC^2 =2BD^2 + 2AD^2,则有4AD^2=2AB^2 + 2AC^2 - BC^2,
由余弦定理：EF^2=AE^2+AF^2-2AEAF cosEAF,BC^2=AB^2+AC^2-2ABAC cosBAC,角EAF与角BAC互补，则4AD^2=AB^2+AC^2+2ABAC cosBAC=AB^2+AC^2-2ABAC cosEAF=EF^2,故AD=1/2EF，证毕。