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求数列An=1/n的前n项和
如题所述
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推荐答案 2012-06-08
由于ln(1+1/n)<1/n (n=1,2,3,…)
于是调和级数的前n项部分和满足
Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)
=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]
=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)
由于
lim Sn(n→∞)≥lim ln(n+1)(n→∞)=+∞
所以Sn的极限不存在,调和级数发散。
但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)](n→∞)却存在,因为
Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)
=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)
由于
lim Sn(n→∞)≥lim ln(1+1/n)(n→∞)=0
因此Sn有下界
而
Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]
=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)>ln(1+1/n)-1/n>0
所以Sn单调递减。由单调有界数列极限定理,可知Sn必有极限,因此
S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)](n→∞)存在。
于是设这个数为γ,这个数就叫作欧拉常数,他的近似值约为0.57721566490153286060651209,目前还不知道它是有理数还是无理数。
于是我们得到Sn的公式是:Sn=lnn+γ
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其他回答
第1个回答 2011-03-10
无解
1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722......一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用)
追问
能简述证明过程吗
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求数列An=1
/
n的前n项和
答:
由于ln(1+1/n)<1/n (
n=1
,2,3,…)于是调和级数
的前n项
部分和满足 Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)由于 lim Sn(n→∞)≥lim ...
求数列an=1
/
n的前n项和
答:
数列an=1
/n是调和数列,是不可以求和的。人们已经研究调和数列已经几百年了 但是迄今为止没有能得到它的求和公式只 是得到它的近似公式(当n很大时):1+1/2+1/3+...+1/n≈lnn+C(C=0.57722...称作欧拉初始,专为调和级数所用,至今不知是有理数还是无理数)人们倾向于认为它没有一个简洁的...
数列an=1
/n怎么求和
答:
自然数的倒数组成的数列,称为调和数列,即:1/
1
+1/2+1/3+...+1/
n
。这个数组是发散的,所以没有求回和公式。只有
一
个答近似的求解方法:1+1/2+1/3+……+1/n ≈ lnn+C。(C≈0.57722,一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用)。
数列的
函数理解:①数列是一种特殊的函数。其...
数列的
求和,
数列an=1
/n ,Sn为
前n项和
,S
n的
表达式是什么 详细过程是什 ...
答:
1/4)+...+(1/n).到了大学,可以证明,该
数列的前n项
的和Sn趋于+∞。{Sn}也称为“调和级数”,目前Sn还没有一个准确的表达式。但是,当n"充分大”时,有一个近似的公式来表示Sn,称为“欧拉公式”即Sn
=1
+(1/2)+(1/3)+...+(1/n)=(lnn)+γ.(γ≈0.577,γ也叫做欧拉常数)...
求数列an=1
/n(n+1)
的前n项和
答:
an=1
/n(n+1)=1/n-1/(n+1)a1=1/1-1/2 a2=1/2-1/3 ...an=1/n-1/(n+1)左右两边分别相加:左边=Sn 右边=1/1-1/2+1/2-...+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)=n/(n+1)即 Sn=n/(n+1)
已知数列an的通项公式为
an=1
/(n(n+1)(n+2)),
求数列an的前n项和
Sn
答:
an=1
/2*[1/n - 2/(n+1) +1/(n+2)]Sn=1/2{(1/1 -2/2 + 1/3)+(1/2 - 2/3 +1/4)+...+ [1/n - 2/(n+1) +1/(n+2)]} =1/2[1/1 -1/2 - 1/(n+1) +1/(n+2)]=1/4-1/[2*(n+1)(n+2)]
已知
数列an=1
/n(n+1)(n+2),
求数列的前n项和
Sn 最好利用裂项法_百度知 ...
答:
an=1
/2*2/[n(n+1)(n+2)]=1/2*[(n+2)-n]/[n(n+1)(n+2)]=1/2{[(n+2)/[n(n+1)(n+2)]-n/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]} 所以Sn=1/2*{1/1*2-1/2*3+1/2*3-1/3*4+……+1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]} =1/...
怎样求{
1
/n}
的前n项和
?
答:
数列An=1
/n,求
前n项和
Sn 解:S‹
;n
8250;=1+1/2+1/3+1/4+...+1/n=0.577216...+lnn+ε‹n›其中0.577216...是个无理数,叫作尤拉常数; ε‹n›是n→∞时的无穷小量
;n
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