拉格朗日乘数法

Question

有个疑问，拉格朗日乘数法是计算限定区域的边界么？还是边界内部？
对于二维的来说它是线，三维来说它是面么？或者说限定条件F(x,y)与
G（x,y,z)有什么区别么？

Answer 1

Answer 2

1.边界,不是内部
2.三维可线可面.

解释:
限定条件,是一条线或一个面,二维是线,三维既可以是线也可以是面,这是很容易理解的,线相当于比面要求更严格了.因为点是线的边界,线是面的边界,面是体的边界.

拉格朗日乘数法计算的是最值问题,仅仅计算的是边界,线边界或面边界(点边界就是直接比较边界点函数值和极值的大小就可以了,用不到乘数法,但是要想用,也同样是统一的).

计算区域(平面区域,空间区域)最值问题的时候必须要分两步解决.
1.计算出区域内的驻点(导数或偏导数为0点)和导数不存在点.
2.比较上述各点的与边界的函数值的大小,得到最值(其中边界就用乘数法).本回答被提问者采纳

Answer 3

由拉格朗日乘数法的推导过程可以看出，λ≠0，否则驻点(x0,y0)满足的式子就变成了
f对x的偏导=0
f对y的偏导=0
f对λ的偏导=0
前面两个式子一般是不成立的。
求z=xy^2在x^2+y^2=1下的极值？一般应该是求最大值、最小值！
一种方法是化成一元函数的极值z＝x(1－x^2)，－1≤x≤1.
用拉格朗日乘数法的话，设L(x,y)＝xy^2＋λ(x^2＋y^2－1)，解方程组
y^2＋2λx＝0
2xy＋2λy＝0
x^2＋y^2＝1
前两个方程求出x＝－λ，y^2＝2λ^2，代入第三个式子得λ＝±1/√3，所以x＝±1/√3，y＝±√(2/3)，比较4个驻点处的函数值可得最大值和最小值