证明一个线性方程组增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大1

如题所述

推荐答案 2018-11-21

显然系数矩阵的列向量，都是增广矩阵的列向量，因此
他们公共部分的列向量，是相同的列向量组，秩相等。
但因为增广矩阵的列向量，比系数矩阵多1个列向量。
如果这个多出来的列向量，不能被左侧的列向量组线性表示，则
增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩+1
否则（这个多出来的列向量，可以被左侧的列向量组线性表示），两者秩相等。

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第1个回答 2012-07-23

设系数矩阵由A1,A2,……，An共n个列向量组成，则其增广矩阵必由A1,A2,……，An，B共n+1个列向量组成。
若系数矩阵的秩为r,则必存在r个向量Ar1,Ar2,...,Arr线性无关,而A1,A2,……，An都是他们的线性组合。若Ar1,Ar2,...,Arr，B线性无关,则增广矩阵的秩为r+1;若Ar1,Ar2,...,Arr，B线性相关，则增广矩阵的秩为r。从而一个线性方程组的增广矩阵的秩比其系数矩阵的秩相最多大1。

相似回答

证明一个线性方程组增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大1答：矩阵形式: r(A,B) <= r(A)+r(B).所以有: 增广矩阵的秩 r(A,b) <= r(A) + r(b) <= r(A) + 1.

线性代数中增广矩阵的秩一定大于等于系数矩阵的秩吗答：增广矩阵(A,b)比系数矩阵A多一列，所以r(A)≤r(A,b)≤r(A)+1。若A是m×n矩阵，r(A)=n，则非齐次方程组Ax=b （A）A、可能有解；B、一定有唯一解；C、一定无解；D、一定有无穷多解。只能得到n≤r(A)≤n+1，那么r(A,b)=n与r(A,b)=n+1皆有可能。若r(A,b)=n，则r(A...

为什么增广矩阵的秩比系数矩阵的秩大?答：只有当系数矩阵和增广矩阵的秩相等时方程组才有解.且对应齐次线性方程组的基础解系所含解的个数为n-r(系数矩阵).具体总结如下：设A为系数矩阵,（A,b）为增广矩阵。秩（A)<秩（A b) 方程组无解。r（A)=r（A b)=n，方程组有唯一解。r（A)=r（A b)<n，方程组无穷解。

方程组无解时,为什么增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加一?答：也就是增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩 假设一个方程组由5个方程组成，且无解，它的系数矩阵的秩是3，那么在进行初等行变换的时候，有2行可以化为0，增广矩阵是增加了一列非零数，初等变换后，只能有1行为零，另一行存在一个非零数（也就是矛盾方程），其他不变，即秩是4，所以无解时增广矩阵=系数...

系数矩阵的秩与增广矩阵的秩的关系?答：系数矩阵是指由线性方程组中的系数构成的矩阵，而增广矩阵则是在系数矩阵的基础上，将常数项也作为矩阵的一部分加入进去。在一般情况下，增广矩阵的秩总是大于或等于系数矩阵的秩。这是因为增广矩阵包含了更多的信息，包括常数项，这使得增广矩阵的秩有可能比系数矩阵的秩更大。具体来说，如果线性方程组...

如何比较矩阵的秩和增广矩阵的秩?答：比较，系数矩阵的秩r1、增广矩阵的秩r2和未知数的个数n：（1）若系数矩阵的秩r1≠增广矩阵的秩r2，则方程组无解，就不存在基础解系；（2）系数矩阵的秩r1=增广矩阵的秩r2=未知数的个数n,则方程有唯一解，不存在基础解系；（3）系数矩阵的秩r1=增广矩阵的秩r2<未知数的个数n,则方程有无穷多...

增广矩阵与系数矩阵的秩分别怎么看?答：在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目增广矩阵通常用于判断矩阵的解的情况：当时，方程组无解；当时，方程组有唯一解；当时，方程组无穷解；不可能，因为增广矩阵的秩大于等于系数矩阵的秩。

系数矩阵与增广矩阵的秩如何判断答：方法：阶级矩阵，两行不为0的“行”，所以秩为2。矩阵，行的秩等于列的秩。纯粹只为矩阵求秩的话，也可以通过列变换把右边两列变为0。系数矩阵是矩阵中的众多类型之一，简单来说系数矩阵就是将方程组的系数组成矩阵来计算方程的解。系数矩阵常常用来表示一些项目的数学关系，比如通过此类关系系数矩阵...

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