A的伴随矩阵的秩和A的秩的关系是怎么证明的?

Question

即证明 r(A伴随) = n，则A满秩：r(A伴随) = 1，则r(A)=n-1；r(A伴随) = 0，则r(A)<n-1.

Answer 1

首先根据伴随矩阵定义可以知道AA* = |A|E

这样，当r(A)=n时，|A|非0，则r(A*)=n

当r(A)=n-1时，显然A*至少有一个元素非0，r(A*)>=1, 同时由于AA*=0，所以r(A)+r(A*)<=n

所以r(A*)=1

当r(A)<n-1时，因为任意一个n-1余子式都是0，所以A*=0矩阵，所以r(A*)=0

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

根据伴随矩阵定义 A* =
[A11 A21 ... An1]
[A12 A22 ... An2]
[.........................................]
[A1n A2n ... Ann]
计算得出的。
不是严格证明简单说明如下（也可举例说明）：
Aij 是 aij 的代数余子式，是 n-1 阶行列式的值。
A 满秩时， 可逆， A* = |A| A^(-1) 可逆，满秩.
r(A) = n-1 时，AA* = |A|E, 满秩, A* 有 1 行 不为 0，r(A*) = 1。
r(A) < n-1 时， A* 所有元素为 0，r(A*) = 0。