求数列的前n项和是高中数学《数列》一章的教学重点之一,而对于一些非
等差数列,又非等比数列的某些数列求和,是教材的难点。不过,只要认真去探求这些数列的特点。和结构,也并非无规律可循。
典型示例:
1、
用通项公式法:
规律:能用通项公式写出数列各项,从而将其和重新组合为可求数列和。
例1:求5,55,555,…,的前n项和。
解:∵an=
5
9(10n-1)
∴sn
=
5
9(10-1)
5
9(102-1)
5
9(103-1)
…
5
9(10n-1)
=
5
9[(10
102
103
…
10n)-n]
=
(10n
1-9n-10)
2、
错位相减法:
一般地形如{anbn}的数列,{
an
}为等差数列,
{
bn
}为等比数列,均可用错位相减法求和。
例2:求:sn=1
5x
9x2
(4n-3)xn-1
解:sn=1
5x
9x2
(4n-3)xn-1
①
①两边同乘以x,得
x
sn=x
5
x2
9x3
(4n-3)xn
②
①-②得,(1-x)sn=1
4(x
x2
x3
)-(4n-3)xn
当x=1时,sn=1
5
9
(4n-3)=2n2-n
当x≠1时,sn=
1
1-x
[
4x(1-xn)
1-x
1-(4n-3)xn
]
3、
裂项抵消法:
这一类数列的特征是:数列各项是等差数列某相邻两项或几项的积,
一般地,{an}是公差为d的等差数列,则:
即裂项抵消法,
多用于
分母为等差数列的某相邻k项之积,而分子为
常量的分式型数列的求和,对裂项抵消法求和,其裂项可采用
待定系数法确定。
例3:求
1
3,
1
1
5,
1
3
5,
1
63之和。
解:
4、
分组法:
某些数列,通过适当分组,可得出两个或几个等差数列或等比数列,从而可利用等差数列或
等比数列的求和公式分别求和,从而得出原数列之和。
例4:求数列
的前n项和。
解:
5、
聚合法:
有的数列表示形式较复杂,每一项是若干个数的和,这时常采用聚合法,
先对其第n项求和,然后将通项化简,从而改变原数列的形式,有利于找出解题办法。
例5:求数列2,2
4,2
4
6,2
4
6
8,…,2
4
6
…
2n,…的前n项和
解:∵an=2
4
6
…
2n=
n(n
1)=n2
n
∴sn=(12
1)
(22
2)
(32
3)
……
(
n2
n)
=(12
22
32
…
n2)
(
2
3
…
n)
=
n(n
1)(2n
1)
n(n
1)
=
1
3n(n
1)(n
2)
6、
反序相加法:
等差数列前n项和公式的推导,是先将和式中各项反序编排得出另一个和式,然后再与原来的和式对应相加,从而解得等差数列的前n项和公式,利用这种方法也可以求出某些数列的前n项和。
例6:已知lg(xy)=a,求s,其中
s=
解:
将和式s中各项反序排列,得
将此和式与原和式两边对应相加,得
2s=
(n
1)项
=n(n
1)lg(xy)
∵
lg(xy)=a
∴
s=
n(n
1)a
以上一个6种方法虽然各有其特点,但总的原则是要善于改变原数列的形式结构,使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决,只要很好地把握这一规律,就能使数列求和化难为易,迎刃而解。
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