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数列问题；求数列1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+.+n*（n+1）的和
如题所述
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推荐答案 2019-09-26
因为n*(n+1)=n²+n,所以数列{n*(n+1)}的前n项和等于数列{n²}的前n项和加数列{n}的前n项和.
数列{n²}的前n项和：n(n+1)(2n+1)/6,
数列{n}的前n项和：n(n+1)/2,
所以,1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+···+n*(n+1)=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2=n(n+1)(n+2)/3.
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1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+
6*7+...
n*(n+1)
如何求和?
答：
解：令数列an=
n*(n+1)
，那么
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+
6*7+...n*(n+1)即为数列an前n项和Sn。又因为an=n*(n+1)=n^2+n，那么Sn=1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+...n*(n+1)=1^2+1+2^2+2+3^2+3
+...+
(n-1)^2+(n-1)+n^2+n =(1^2+2^2+3^2+......
1×
2+2
×
3+3
×
4+4
×
5
……
+n(n+1)
答：
如图
Sn=
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+
……
+n*(n+1)
=? 要过程 谢谢
答：
3+4+5+
……+n 4+5+……+n ……+n 用求和公式：(1+n)n/2 +(
2+n)
(n-1)/2 +……+(n+n)(n-(n-1))/2 化简=0.5*[
(n+1)
n+(n
+2)
(n-1)+(n
+3)
(n-
2)+
(n
+4)
(n-
3)+
……(n+n)(n-(n-1)]=0.5*[n^2*n
+n*
n-(2^2+……+n^2)+（
2+3+4+
……+n）...
Sn=
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+
……
+n*(n+1)
=? 要过程 谢谢
答：
方法1：展开成
1+2+3+4+5
……+n
+2+3+4+5+
……+n 3+4+5+……+n 4+5+……+n ……+n 用求和公式：(
1+n)
n/2 +(
2+n)
(n-1)/2 +……+(n+n)(n-(n-1))/2 化简=0.5*[
(n+1)
n+(n
+2)
(n-1)+(n
+3)
(n-
2)+
(n
+4)
(n-
3)+
……(n+n)(n-(n-1)]=0.5*...
1*2+2*3+3*4+4*5
等等
+n(n+1)
(n为整数
)的
结果是多少?
答：
解：可分解为两个式子：因为：n*(n+1)=n^2+n 所以：
1*2+2*3+3*4+4*5+...+n*(n+1)
=(1^2+1)+(2^2+2)+(3^2+3)+...+（n^2+n）=(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+(1+2+3+...+n)=(2n+1)(n+1)n/6 +n(n+1)/2 ...
1*2+2*3+3*4+
……
+n(n+1)
求和
答：
/
6+n(n+1)
/2 =n(n+1)(n+2)/3 2、可以用裂项求和 n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
1*2+2*3+3*4+
……
+n（n+1）
=[(1*2*3-0*1
*2)+
(2*3*4-1*2
*3)+
(3
*4*5
-2*3
*4)+
…+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3 =n(n+1)(n+2)/3 ...
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+...+
99*100
答：
首先可以知道存在这样一个数列{an}:
1*2
,
2*3
,
3*4
,...,99*100 可以看出
数列的
通项公式为 an=n
(n+1)
=n^2+n 从上面可以得到启示 1*2=1^2+1 2*3=2^
2+2
3*4=3^2+3 ...99*100=99^2+99 于是原式=（1^2+2^2+3^2
+...+
99^
2）+
（1+2+3++...+99）1到99的平方和...
1
×
2+2
×
3+3
×
4+4
×
5+5
×
6+
6×7+7×8+8×9···+100×101等于多少?_百...
答：
过程仅供参考，答案需要验证
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