广义积分的收敛域求解方法
如题，在书本上找不到相应的内容，书本上有两类，也就是无限积分和瑕积分的判定，但是，如下面这题就用不上了：
被积函数ln(1+x^2)/x^a从0到正无穷积分的收敛域是多少？也就是求a的范围··
请问这题应该怎么做？
这是考研往年试卷中的题目···每年都考到···可是我不会做··好心人帮帮忙···
所给的答案是1<a<3，不知道怎么做出来的·我拆出两个无限积分和瑕积分的和来求，但是求不出来···
答案1若a下面讨论 a>0的情况：过程见我刚做的图片
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第1个回答 2009-01-07
怎么会用不上，这个就是很常规的问题，用的都是基本方法。
首先，可能出现反常的点是0和正无穷，所以先把区间分成[0,1]和[1,正无穷)两段，当且仅当两段上面的积分都收敛时原来的积分收敛。
然后这个是非负函数的积分，可以直接利用比较判别法来判别
对于0点，存在常数c使得c*x^2<=ln(1+x^2)<=x^2在[0,1]上成立，可以知道当且仅当a<3时积分收敛。
对于无限区间，任取e>0，当x趋向于正无穷时x^{-a}<=ln(1+x^2)/x^a<x^{e-a}，同样可以知道当且仅当a>1时积分收敛。
综上即得1<a<3时积分收敛。
首先，可能出现反常的点是0和正无穷，所以先把区间分成[0,1]和[1,正无穷)两段，当且仅当两段上面的积分都收敛时原来的积分收敛。
然后这个是非负函数的积分，可以直接利用比较判别法来判别
对于0点，存在常数c使得c*x^2<=ln(1+x^2)<=x^2在[0,1]上成立，可以知道当且仅当a<3时积分收敛。
对于无限区间，任取e>0，当x趋向于正无穷时x^{-a}<=ln(1+x^2)/x^a<x^{e-a}，同样可以知道当且仅当a>1时积分收敛。
综上即得1<a<3时积分收敛。
第2个回答 2009-01-07
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第3个回答 2009-01-07
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现在考试 ，过两天帮你，上高数在？
现在考试 ，过两天帮你，上高数在？
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