急需广义积分的收敛域判定方法。谢谢回答！

Question

需要指点一下，教材找不到。核心的东西点拨一下即可。
我算不出来的都是没办法正常积分的，看着就傻眼。而且比较法一般只能得到一个边值。很多的答案都是一个区间啊

Answer 1

这个分为两种情况，一种是在定义域内不变号的广义积分，另一种是在域上变号的广义积分。
为方便起见，以下仅讨论无穷积分（即积分域中只含有无穷），不考虑瑕积分（即被积函数在某点无界）。
对于第一种积分，最常用的方法是p-判别法，就是把被积函数通过放大让他小于x^-p(其中p>1)从而判定他收敛，或把被积函数通过缩小让他大于x^-p(其中p<=1)，判定他发散。具体做法是：设被积函数是f(x)，若x^p*f(x)->c(常数)，若此时p>1，则c可以为零，但不能是无穷大，此时f(x)的积分收敛。若p<=1，则c不能是零但可以是无穷大，此时f(x)发散。
对于变号函数的积分，若加上绝对值后仍可通过以上放缩法得到结果，那么收敛性如上述。不过若不能，只能通过判敛定理来实现了。
Abel判别法和Dirichlet判别法，具体哪个是哪个忘了。就是把被积函数写成f(x)=g(x)h(x)，第一种是g(x)有界，h(x)可积，那么积分收敛。第二种是g(x)->0当x->+∞而h(x)的积分有界，那么积分收敛。
手打的，累死了，再有不懂就自己查查吧。

Answer 2

这个分为两种情况，一种是在定义域内不变号的广义积分，另一种是在域上变号的广义积分。
为方便起见，以下仅讨论无穷积分（即积分域中只含有无穷），不考虑瑕积分（即被积函数在某点无界）。
对于第一种积分，最常用的方法是p-判别法，就是把被积函数通过放大让他小于x^-p(其中p>1)从而判定他收敛，或把被积函数通过缩小让他大于x^-p(其中pc(常数)，若此时p>1，则c可以为零，但不能是无穷大，此时f(x)的积分收敛。若p<=1，则c不能是零但可以是无穷大，此时f(x)发散。
对于变号函数的积分，若加上绝对值后仍可通过以上放缩法得到结果，那么收敛性如上述。不过若不能，只能通过判敛定理来实现了。
Abel判别法和Dirichlet判别法，具体哪个是哪个忘了。就是把被积函数写成f(x)=g(x)h(x)，第一种是g(x)有界，h(x)可积，那么积分收敛。第二种是g(x)->0当x->+∞而h(x)的积分有界，那么积分收敛。
手打的，累死了，再有不懂就自己查查吧。

Answer 3

比较法，这是最基本的，公式不好打，你上网查一下就知道了，大致就是如果被积函数恒非负，且小于一个已知广义积分收敛的被积函数的有限倍数，即f(x)=O(g(x)),则收敛；若大于一个已知广义积分发散的被积函数，则发散。还可以推广到极限形式
判敛就是判断收敛不收敛嘛，要判断收敛区间也可以，稍稍讨论一下吧

Answer 4

你就直接使用N代替正无穷，做正常积分，然后求出结果后，令N趋于无穷就好了，你能不能给个例子，用例子给你讲

Answer 5

楼上太强了，强力推荐，在这长知识了