如果方程f(x,y)=0能确定y与x的对应关系,那么称这种表示方法表示的函数为隐函数。反之则不是。
如果不限定函数连续,则式中正负号可以随x而变,因而有无穷个解;如果限定连续,则只有两个解(一个恒取正号,一个恒取负号);如果限定可微,则要排除x=±1。
因而函数的定义域应是开区间(-1<x<1),但仍然有两个解;如果还限定在适合原方程的一个点(x,y)=(x0,y0)的邻近范围内,则只有一个唯一的解(当起点(x0,y0)在上半平面时取正号,在下半平面时取负号)。
隐函数理论的基本问题就是:在适合原方程的一个点的临近范围内,在函数F(x,y)连续可微的前提下,什么样的附加条件能使得原方程。
确定一个惟一的函数y=(x),不仅单值连续,而且连续可微,其导数由(2)完全确定。隐函数存在定理就用于断定就是这样的一个条件,不仅必要,而且充分。