f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)成立。
(1)求f(0)的值,并证明f(x)是偶函数;
(2)若数列{an}(n在下标)满足,an=f(n),判断a(n+1)与an的大小关系,并证明你的结论
(3)设有理数a,b满足,a的绝对值<b的绝对值,判断f(a)与f(b)的大小关系,并证明你的结论。
没有问题的,都说了是非零实数才有f(x)>2,而且f(0)=0是不满足要求的(第一问问题不大,关键是后面两问)
追答当x=x+1,y=1得
f(x+1)f(1)=f(x+2)+f(x)
5/2f(x+1)=f(x+2)+f(x)
2f(x+2)+2f(x)=5f(x+1)
2f(x+2)-f(x+1)=4f(x+1)-2f(x)
可得2f(n+1)-f(n)是以2f(2)-f(1)为首项,2为公比的等比数列
可计算得2f(n+1)-f(n)=3*2^n
左右同乘以2^n可得:
f(n+1)/(1/2)^n+1-f(n)/(1/2)^n =3*4^n
所以:
f(2)/(1/2)^2 - f(1)/(1/2) =3*4
f(3)/(1/2)^3 - f(2)/(1/2)^2 =3*4^2
.........
f(n)/(1/2)^n- f(n-1)/(1/2)^(n-1) =3*4^(n-1)
所以: f(n)/(1/2)^n - f(1)/(1/2) = 3*4 + 3*4^2 + ......+ 3*4^(n-1) = 4^n - 4
即f(n) = [(1/2)^n](4^n + 1)
就是an=[(1/2)^n](4^n + 1)
接下来就什么都好算了
比如第二问an=[(1/2)^n](4^n + 1)=2^n+(1/2)^n,
很容易判断an+1-an=2^n-(1/2)^n>0
第二问出来了就很容易判断函数在0到正无穷上是递增的,在负无穷到0上是递减的,第三问也就跟着出来了
其实用楼下的方法也可以解出来,但是我就想把an的通项弄出来,还真弄出来了,也不知道对不